3. Законы сохранения в механике

 Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью :

.

 Потенциальная энергия тела массой m, находящегося на высоте h, в поле сил тяжести с ускорением свободного падения :

.

 Энергия пружины с коэффициентом жесткости k, сжатой или растянутой на :

.

 Импульс тела массой m, движущегося со скоростью :

.

 Закон сохранения энергии:

В замкнутых системах полная энергия (потенциальная + кинетическая + тепловая) системы тел сохраняется.

.

Если при этом можно пренебречь переходом механической энергии (потенциальная + кинетическая) в тепловую, то сохраняется механическая энергия системы.

 Абсолютно упругим ударом называется такое кратковременное взаимодействие тел, после которого тела полностью восстанавливают свою форму, а их суммарная кинетическая энергия не изменяется. При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Абсолютно неупругим ударом называется такое кратковременное взаимодействие тел, после которого соударяющиеся тела образуют единое тело, движущееся с определенной скоростью, а суммарная кинетическая энергия тел уменьшается. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса, а механическая энергия не сохраняется, часть ее превращается во внутреннюю энергию тел.

 Закон сохранения импульса:

Полный импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

.

 Работа постоянной силы :

,

где s – модуль перемещения, - угол между векторами силыи перемещения.

 Работа так же может быть найдена по следующей формуле:

.

 Мощность – работа A совершенная за единицу времени:

.

 Силы:

- сила упругости.

- сила тяжести.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

 Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта Всякому телу свойственно сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя, пока и поскольку другие тела не вынудят его изменить это состояние. Указанное свойство тел называется инерцией, инертностью. Первый закон выполняется не во всех системах отсчета, а только в инерциальных. Так что, по существу, первый закон постулирует существование инерциальных систем отсчёта, то есть таких, где выполняется закон инерции. По этому закону, существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта, а следовательно, их бесконечное число: любая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью (), также является инерциальной. Неинерциальных систем отсчёта тоже бесконечно много: это – любая, движущаяся ускоренно относительно какой-либо инерциальной. 3. Второй закон Ньютона. Импульс тела, импульс силы В результате взаимодействия с другими телами тело может получить ускорение . Одинаковое по величине воздействие разным телам сообщает разные ускорения: чем больше инертность тела, тем меньше ускорение. Количественной мерой инертности тела является масса . Размерность массы в системе единиц СИ –  Сила – количественная мера воздействия одного тела на другое. Она характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Сила – вектор: . Размерность силы – ньютон: . Формулировка второго закона Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально массе тела . (2.1) Напоминаем, что это – закон, полученный при обобщении опытных данных; он не доказывается. В числителе стоит равнодействующая всех сил, приложенных к телу, то есть их векторная сумма: ; – её действие эквивалентно совместному действию всех реально приложенных к телу сил. По определению (см.лекцию 1) ускорение тела , тогда: . Интегрируем последнее равенство: . (2.2) Это – второй закон Ньютона в импульсной форме: изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на тело силы. Напоминаем, что произведение силы на промежуток времени, в течение которого она действовала, называется импульсом силы:  , (2.3) а произведение массы тела на его скорость – импульсом тела:  . (2.4) Второй закон Ньютона в виде (2.1) выполняется только при скоростях, много меньше скорости света; а в импульсной форме (2.5) его можно применять и при скоростях, сравнимых со скоростью света: . (2.5) 4 . Третий закон Ньютона Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны. Из этого закона следует, что силы всегда появляются парами: если существует сила , действующая на тело 1 со стороны тела 2, что и тело 1 действует на тело 2 с силой , равной по величине и противоположной по направлению: . (2.6) Природа этих сил одинакова.  Эти силы не могут компенсировать друг друга, так как приложены к разным телам. В заключение рассмотрения законов Ньютона нужно подчеркнуть, что первый закон Ньютона устанавливает (постулирует) существование инерциальных систем отсчёта, а второй и третий законы Ньютона выполняются именно в таких (инерциальных) системах отсчёта.  Сила всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести, вес тела. Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной каждой массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния между точками: , (2.7) где – гравитационная постоянная. Любая масса создаёт в окружающем пространстве гравитационное поле. Поле – это пространство с особым свойством: если в гравитационное поле поместить другую массу, то на неё со стороны поля будет действовать сила. Две массы взаимодействуют посредством гравитационного поля. Для гравитационных полей, как и для любых полей, характерно близкодействие, то есть гравитационное взаимодействие распространяется с конечной скоростью, равной скорости света в вакууме .  Вблизи Земли (или другого небесного тела) с массой M, радиусом R тело массой m притягивается к ней с силой: , (2.8) где – высота над поверхностью Земли. Это – сила тяжести: . (2.9) Величина ускорения свободного падения , а на поверхности Земли  . (2.10) Вес тела – это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает подвес. Вес – сила, приложенная к подставке. Вес по третьему закону Ньютона равен и противоположен силе нормального давления (или натяжения нити): . Если тело неподвижно висит или лежит (или вместе с подставкой движется равномерно, – система отсчёта инерциальна), то по второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на тело, то есть тяжести и нормального давления, будет равна нулю (ускорение отсутствует): . Тогда вес .  Если тело движется ускоренно () вместе с подставкой, то уравнение движения примет вид , и вес  . Если, например, тело вместе с лифтом движется ускоренно вверх (рис.2.2), то в проекциях на ось OY  . (2.11) Если ускорение направлено вниз, то вес . (2.12) При наступает невесомость: .

Сила трения. Сила трения возникает при относительном перемещении соприкасающихся тел (или частей одного тела). 

Трение
Сухое				Вязкое
Покоя	Скольжения	Качения

Будем рассматривать только сухое трение покоя и скольжения. Сила трения скольжения зависит от того, с какой силой прижаты тела друг к другу (от силы нормального давления ):  . (2.13) Здесь – коэффициент трения; он безразмерен; его величина не может быть больше единицы. Считаем, что в первом приближении сила трения скольжения не зависит от скорости.  Сила трения покоя возникает при попытках переместить соприкасающиеся тела относительно друг друга (рис.2.3). Она может принимать любые значения от 0 до : . Пока тело не сдвинулось, внешняя сила и сила трения покоя уравновешивают друг друга; с увеличением растёт и (участок 1 на рис.2.43):  . Если внешняя сила превышает максимально возможное значение силы трения покоя, равное , то тело сдвинется, и сила трения покоя перейдёт в силу трения скольжения (участок 2 на рис.2.4). Сила трения направлена по касательной с соприкасающимся поверхностям (рис.2.3).  Причины возникновения сил трения – неровности, шероховатости поверхностей тел: при относительном перемещении неровности зацепляются, ломаются; при этом тратится энергия – тела нагреваются. Ещё одна причина – межмолекулярное (межатомное) взаимодействие: при соприкосновении частицы двух тел притягиваются. В конечном итоге трение – проявление электромагнитного взаимодействия.

Силы упругости Причины возникновения сил упругости – также межмолекулярные (межатомные) взаимодействия и сводятся к электромагнитным силам: при изменении длины тела (например, при растяжении) увеличиваются средние межатомные расстояния, в результате чего возникают силы притяжения между частицами, и тело стремится вернуться к первоначальным размерам. Деформация тела называется упругой, если после снятия нагрузки тело возвращается к первоначальным размерам и форме. Строго говоря, остаточная деформация есть всегда, но если она мала, ею пренебрегают. При неупругой деформации происходит разрыв некоторых межатомных связей и образование связей между другими атомами, в результате чего изменённая форма тела сохраняется и после снятия нагрузки. Любая деформация может быть представлена как сочетание двух основных: растяжения (сжатия) и сдвига (рис.2.5 и 2.6 соответственно). Рассмотрим деформацию растяжения стержня. При малых деформациях изменение длины тела, то есть абсолютная деформация , прямо пропорциональна приложенной силе – это закон Гука: ; (2.14) здесь – жёсткость. Закон Гука можно записать в локальной форме. Для этого введём новые величины: 1. Механическое нормальное напряжение σ – это сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела (считаем силу приложенной перпендикулярно сечению ): . (2.15) Механическое напряжение – локальная характеристика; в разных точках сечения оно, вообще говоря, может быть различным, поэтому лучше использовать определение (2.15а): . (2.15а) Размерность .  2. Относительная продольная деформация (или просто ) – это изменение длины по отношению к первоначальной длине: . (2.16) Она безразмерна: .  Тогда закон Гука в локальной форме читается так: механическое напряжение прямо пропорционально относительной деформации: (2.17) Величина – это модуль Юнга материала и характеризует упругие свойства этого материала; не зависит от размеров и формы образца, в отличие от жёсткости (2.18), и поэтому формулировка (2.17) более удобна и универсальна, чем (2.14). Можно найти соотношение между жёсткостью и модулем Юнга: . (2.18) Размерность модуля Юнга: . Экспериментальная зависимость механического напряжения от относительной продольной деформации дана на рис.2.7. Там же указаны характерные точки – пределы: пропорциональности , упругости , текучести и прочности . Предел пропорциональности – это максимальное механическое напряжение, при котором ещё выполняется закон Гука (деформацию можно считать пропорциональной напряжению). Предел упругости – такое максимальное напряжение, при котором деформацию можно считать упругой. Если напряжение превысит этот предел, после снятия нагрузки будет остаточная деформация. Предел текучести – это механическое напряжение, при котором деформация увеличивается почти без увеличения нагрузки. Горизонталь на графике – это область пластичности. Если тело пластично, этот участок длинный (сталь), если горизонтальный участок мал – тело хрупкое (чугун). Предел прочности – это напряжение, при котором начинается разрушение тела.  При деформации (удлинении) тела изменяется (уменьшается) сечение, и вообще говоря, изменяется объём. Относительное поперечное сжатие – это  . (2.19) При односторонней деформации величины и имеют противоположные знаки: при растяжении сечение уменьшается. Отношение этих величин – коэффициент Пуассона материала: . (2.20) Можно доказать, что коэффициент Пуассона материалов, сохраняющих объём при деформациях, равен .

4. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения.

Момент инерции твердого тела - это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R - расстояние между осями.

Угловое ускорение, которое тело приобретает под действием момента сил, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно некоторой оси.

5. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) – это учение, которое объясняет тепловые явления в макроскопических телах и внутренние свойства этих тел движением и взаимодействием атомов, молекул и ионов, из которых состоят тела. В основе МКТ строения вещества лежат три положения:

Вещество состоит из частиц – молекул, атомов и ионов. В состав этих частиц входят более мелкие элементарные частицы. Молекула – наименьшая устойчивая частица данного вещества. Молекула обладает основными химическими свойствами вещества. Молекула является пределом деления вещества, то есть самой маленькой частью вещества, которая способна сохранять свойства этого вещества. Атом – это наименьшая частица данного химического элемента.

Частицы, из которых состоит вещество, находятся в непрерывном хаотическом (беспорядочном) движении.

Частицы вещества взаимодействуют друг с другом – притягиваются и отталкиваются.

Эти основные положения подтверждаются экспериментально и теоретически.

Состав вещества

Современные приборы позволяют наблюдать изображения отдельных атомов и молекул. С помощью электронного микроскопа или ионного проектора (микроскопа) можно получить изображения отдельных атомов и оценить их размеры. Диаметр любого атома имеет порядок d = 10^-8 см (10^-10 м). Размеры молекул больше размеров атомов. Поскольку молекулы состоят из нескольких атомов, то чем больше количество атомов в молекуле, тем больше её размер. Размеры молекул лежат в пределах от 10^-8 см (10^-10 м) до 10^-5 см (10^-7 м).

Хаотическое движение частиц

Непрерывное хаотическое движение частиц подтверждается броуновским движением и диффузией. Хаотичность движения означает, что у молекул не существует каких-либо предпочтительных путей и их движения имеют случайные направления. Это означает, что все направления равновероятны.

Диффузия (от латинского diffusion – растекание, распространение) – явление, когда в результате теплового движения вещества происходит самопроизвольное проникновение одного вещества в другое (если эти вещества соприкасаются).

Взаимное перемешивание веществ происходит по причине непрерывного и беспорядочного движения атомов или молекул (или других частиц) вещества. С течением времени глубина проникновения молекул одного вещества в другое увеличивается. Глубина проникновения зависит от температуры: чем выше температура, тем больше скорость движения частиц вещества и тем быстрее протекает диффузия.

Диффузия наблюдается во всех состояниях вещества – в газах, жидкостях и твёрдых телах. Примером диффузии в газах служит распространение запахов в воздухе при отсутствии прямого перемешивания. Диффузия в твёрдых телах обеспечивает соединение металлов при сварке, пайке, хромировании и т.п. В газах и жидкостях диффузия происходит намного быстрее, чем в твёрдых телах.

Взаимодействие частиц

Существование устойчивых жидких и твёрдых тел объясняется наличием сил межмолекулярного взаимодействия (сил взаимного притяжения и отталкивания). Этими же причинами объясняется малая сжимаемость жидкостей и способность твёрдых тел сопротивляться деформациям сжатия и растяжения.

Силы межмолекулярного взаимодействия имеют электромагнитную природу – это силы электрического происхождения. Причиной этого является то, что молекулы и атомы состоят из заряженных частиц с противоположными знаками зарядов – электронов и положительно заряженных атомных ядер. В целом молекулы электрически нейтральны. По электрическим свойствам молекулу можно приближённо рассматривать как электрический диполь.

Силы притяжения принято считать отрицательными, а силы отталкивания – положительными, хотя это деления является условным.

Сила взаимодействия между молекулами имеет определённую зависимость от расстояния между молекулами. Эта зависимость изображена на рис. 1.1. Здесь показаны проекции сил взаимодействия на прямую, которая проходит через центры молекул.

Рис. 1.1. Зависимость межмолекулярных сил от расстояния между взаимодействующими атомами.

Как видим, по мере уменьшения расстояния между молекулами r сила притяжения F_{r пр} увеличивается (красная линия на рисунке). Как уже было сказано, силы притяжения принято считать отрицательными, поэтому по мере уменьшения расстояния кривая уходит вниз, то есть в отрицательную зону графика.

Силы притяжения действуют по мере сближения двух атомов или молекул, пока расстояние r между центрами молекул находится в районе 10^-9 м (2-3 диаметра молекул). По мере увеличения этого расстояния силы притяжения ослабевают. Силы притяжения являются короткодействующими силами.

(1.1)

где a – коэффициент, зависящий от вида сил притяжения и строения взаимодействующих молекул.

При дальнейшем сближении атомов или молекул на расстояниях между центрами молекул порядка 10^-10 м (это расстояние сравнимо с линейными размерами неорганических молекул) появляются силы отталкивания F_{r от} (синяя линия на рис. 1.1). Эти силы появляются за счёт взаимного отталкивания положительно заряженных атомов в молекуле и убывают с увеличением расстояния r ещё быстрее, чем силы притяжения (что видно на графике – синяя линия более «круто» стремится к нулю, чем красная).

(1.2)

где b – коэффициент, зависящий от вида сил отталкивания и строения взаимодействующих молекул.

На расстоянии r = r₀ (это расстояние примерно равно сумме радиусов молекул) силы притяжения уравновешивают силы отталкивания, а проекция результирующей силы F_r = 0. Этому состоянию соответствует наиболее устойчивое расположение взаимодействующих молекул.

В общем случае результирующая сила равна:

(1.3)

При r > r₀ притяжение молекул превосходит отталкивание, при r < r₀– отталкивание молекул превосходит их притяжение.

Зависимость сил взаимодействия молекул от расстояния между ними качественно объясняет молекулярный механизм появления сил упругости в твёрдых телах.

При растяжении твёрдого тела частицы удаляются друг от друга на расстояния, превышающие r₀. При этом появляются силы притяжения молекул, которые возвращают частицы в первоначальное положение.

При сжатии твёрдого тела частицы сближаются на расстояния, меньшие расстояния r₀. Это приводит к увеличению сил отталкивания, которые возвращают частицы в первоначальное положение и препятствуют дальнейшему сжатию.

Если смещение молекул из положений равновесия мало, то силы взаимодействия растут линейно с увеличением смещения. На графике этот отрезок показан утолщённой линией светло-зелёного цвета.

Поэтому при малых деформациях (в миллионы раз превышающих размер молекул) выполняется закон Гука, согласно которому сила упругости пропорциональна деформации. При больших смещениях закон Гука не действует.

6. Уравнение состоянияидеального газа  (иногда уравнение Клапейронаили уравнениеМенделеева—Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость междудавлением,молярным объёмомиабсолютной температуройидеального газа. Уравнение имеет вид:,

где

—давление,

—молярный объём,

—универсальная газовая постоянная

—абсолютная температура,К.

Так как , где—количество вещества, а, где— масса,—молярная масса, уравнение состояния можно записать:

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную , значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев же обнаружил, что прямо пропорциональна, коэффициент пропорциональностион назвал универсальной газовой постоянной.

Уравнение Ван-дер-Ваальса

Предпринималось много попыток для учета отклонений свойств реальных газов от свойств идеального газа путем введения различных поправок в уравнение состояния идеального газа. Наибольшее распространение вследствие простоты и физической наглядности получило уравнение Ван-дер-Ваальса (1873).

Первая поправка в уравнении состояния идеального газа рассматривает собственный объем, занимаемый молекулами реального газа. В уравнении Дюпре (1864)

p (V – nb) = nRT (1.3)

постоянная b учитывает собственный мольный объем молекул.

При понижении температуры межмолекулярное взаимодействие в реальных газах приводит к конденсации (образование жидкости). Межмолекулярное притяжение эквивалентно существованию в газе некоторого внутреннего давления (иногда его называют статическим давлением). Изначально величинабыла учтена в общей форме в уравнении Гирна (1865)

(p + ) (V – nb) = nRT. (1.4)

Ван-дер-Ваальс в 1873 г. дал функциональную интерпретацию внутреннего давления. Согласно модели Ван-дер-Ваальса, силы притяжения между молекулами (силы Ван-дер-Ваальса) обратно пропорциональны шестой степени расстояния между ними, или второй степени объема, занимаемого газом. Считается также, что силы притяжения суммируются с внешним давлением. С учетом этих соображений уравнение состояния идеального газа преобразуется в уравнение Ван-дер-Ваальса:

(1.5)

или для одного моля

. (1.6)

Значения постоянных Ван-дер-Ваальса a и b, которые зависят от природы газа, но не зависят от температуры, приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3. Постоянные Ван-дер-Ваальса для различных газов

Газ	a, л2 *бар* моль-2	b,см3 * моль-1	Газ	a, л2 * бар* моль-2	b, см3 * моль-1
He	0,03457	23,70	NO	1,358	27,89
Ne	0,2135	17,09	NO2	5,354	44,24
Ar	1,363	32,19	H2O	5,536	30,49
Kr	2,349	39,78	H2S	4,490	42,87
Xe	4,250	51,05	NH3	4,225	37,07
H2	0,2476	26,61	SO2	6,803	56,36
N2	1,408	39,13	CH4	2,283	42,78
O2	1,378	31,83	C2H4	4,530	5,714
Cl2	6,579	56,22	C2H6	5,562	63,80
CO	1,505	39,85	C3H8	8,779	84,45
CO2	3,640	42,67	C6H6	18,24	115,4