32.Гипотеза де Бройля

Гипотеза де Бройля заключается в том, что французский физик Луи де Бройль выдвинул идею приписать волновые свойства электрону. Проводя аналогию между квантом, де Бройль предположил, что движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом.

Гипотеза де Бройля устанавливает, что движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом p, соответствует волновой процесс, частота которого равна:

а длина волны:

где p - импульс движущейся частицы.

 Некоторые учебные дисциплины являются сложными в изучении. Если какой-то предмет вызывает у вас трудности, вам необходимо позаниматься с репетитором. Квалифицированные репетиторы всегда объяснят учебный материал и помогут решить любую задачу.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: и, и любого элементаизтакого, чтоиоба определены (то есть, в частности,итакже определены), имеем:

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор называюткоммутатором ии обозначают как. Он определен для тех, для которых определены обаи.

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, и— две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Еслииопределены, тогда:

,

где:

— среднее значение оператора величины в состояниисистемы, и

— оператор стандартного отклонения величины в состояниисистемы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов и, которые имеют один и тот жесобственный вектор . В этом случаепредставляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым дляи.

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных и, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где различны иобозначает угловой момент вдоль оси.

следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

Здесь - неопределенность изменения энергии системы,- длительность измерения. Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет.^[1]

Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряженных оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента и оператор азимутального угла. Первый из них является самосопряженным только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор, очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместовзять, что приведет к следующей форме принципа неопределенности^{[** 1]}:

.

Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид:

.