8. Плоскость Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
Проблема пятого постулата Евклида и ее решение. Аксиоматика геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Параллельные и сверхпараллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Требования непротиворечивости. Доказательство непротиворечивости системы аксиом плоскости Лобачевского.
(2) §67-70, 73, 75, 79, 80, 92; (4) раздел 4 §2, 4, 10, 12, 23-25, 28; (6) §53, 54, 58, 59, 63, 67, 71.
9. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
Общая характеристика аксиоматики Вейля: основные понятия и группы аксиом. Определение непротиворечивости системы аксиом. Метод доказательства непротиворечивости. Доказательство непротиворечивости аксиоматики Вейля. Определение основных фигур и отношений школьной геометрии средствами аксиоматики Вейля.
(2) §77-79, 81; (4) раздел 4 §5-8; (6) §44, 45.
10. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Понятие простого многоугольника. Определение площади многоугольника. Теорема существования и единственности площади простого многоугольника. Вычисление площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Различные формулы для площади треугольника. Определения равносоставленности и равновеликости многоугольников. Теорема Бояи-Гервина.
(2) §88, 89; (4) раздел 4 §14-16; (6) §65.
11. Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
Определение топологического пространства. Примеры топологических пространств. Определение n-мерного топологического многообразия. Клеточное разложение многообразия. Определение эйлеровой характеристики компактного двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников. Существование пяти типов правильных многогранников.
(2) §36, 39-43; (4) раздел 5 §1-8; (6) §80.
12.
Линии и поверхности в
.
Первая основная квадратичная форма
поверхности и ее приложения.
Определения простого куска линии, общей линии. Параметрические уравнения линии в пространстве. Определение гладкой линии. Определение простого куска поверхности, общей поверхности. Параметрические уравнения поверхности. Определение гладкой поверхности. Первая квадратичная форма поверхности: вывод, свойства коэффициентов, приложения. Определение внутренней геометрии поверхности. Полная кривизна поверхности. Теорема Гаусса.
(2) §49, 50, 54, 55, 57-59, 61, 62; (4) раздел 5 §11, 15, 17-20; (6) §73, 76-79.
Литература
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1986, Ч.1.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1987, Ч.2.
Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974, Ч.1.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. М.: Просвещение, 1975, Ч.2.
Атанасян Л.С., Гуревич В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1973. Ч.1.
Атанасян Л.С., Гуревич В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1976, Ч.2.