лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ №21 Принцип Гюйгенса- Френеля

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны.

По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит цен-

тром вторичных волн, которые в однородной изотропной среде будут сферическими.

За отверстием волна, огибая края преграды, проникает в область геометрической тени.

Французский физик Френель дополнил принцип Гюйгенса, введя представление о когерентности элементарных вторичных волн, что позволило рассмотреть на основе принципа Гюйгенса-Френеля многие дифракционные явления. Этот принцип является основным постулатом волновой теории света.

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля – волновое возмущение в любой точке можно рассматривать как результат интерференции элементарных вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности, амплитуда которых пропорциональна величине этого элемента. То есть каждый элемент волновой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемента dS. Благодаря этому можно оценить интенсивность (амплитуду) волн, распространяющихся по разным направлениям, а не только их направление (как давал Гюйгенс).

ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ. СПИРАЛЬ ФРЕНЕЛЯ.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке, решить основную задачу волновой оптики. В общем случае это сложный расчет, но для ряда случаев задача значительно упрощается с применением метода зон Френеля.

Рассмотрим распространение монохроматической световой волны из точки P0 (источник) в какую-либо точку наблюдения P (рис.1).

Суммировать (интегрировать) амплитуды элементарных колебаний, приходящих в точку P, в общем случае сложно.

Однако, как показал Френель, в простейших случаях, при наличии симметрии, амплитуды результирующих колебаний могут быть найдены простым алгебраическим или арифметическим суммированием.

Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элементов волновой поверхности S, Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке P сферической волной, распространяющейся в изотропной однородной среде из точечного источника P0. Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой P0P.

2

Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки P отличались друг от друга на половину длины волны /2. Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля.

Рис. 1

На рисунке использованы обозначения: b расстояние от вершины волновой поверхности до точки P; a расстояние от источника P0 до вершины рассматриваемой волновой поверхности;

Вычислим площади зон. При достаточно малых m площадь Sm m ой зоны можно вычислить как (рис. 2)

Рис. 2

Для расчета Sm найдем rm . Из рисунка следует, что

rm2 a2 a hm 2 , или rm2 b m 2 2 b hm 2 ,

где а радиус волновой поверхности.

Объединим эти два выражения и возведем скобки в квадрат:

2ahm h2m 2bm 2 m2 2 2 2bh m h2m .

Из этого выражения получим:

3

Поскольку мы ограничились рассмотрением малых m, то можно пренебречь слагаемым с m2 и упростить полученное выражение:

Площадь m-ой зоны равна:

Полученное выражение не зависит от m. Это значит, что при малых m площади зон Френеля примерно одинаковы.

Расстояние bm от внешнего края m-ой зоны до точки P равно bm b m 2

и медленно растет с номером зоны.

Поскольку волна сферическая, то ее амплитуда зависит от bm. Следовательно, амплитуда Am колебания, возбуждаемого m-ой зоной в точ-

ке P, монотонно убывает с ростом m.

Итак, амплитуды колебаний, возбуждаемых зонами Френеля в точке P, образуют монотонно убывающую последовательность

A1 A2 A3 Am 1 Am Am 1

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, различаются на . Следовательно, амплитуда результирующего колебания в точке P может

быть представлена в виде:

A A1 A2 A3 A4 .....

Все амплитуды от нечетных зон входят в это выражение с одним знаком, от четных зон – с другим.

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико. Например, при a = b = 10 см и = 0,5 мкм радиус центральной зоны будет около 0,16 мм, а число зон составляет величину порядка 105. Поэтому допустимо приближение о том, что амплитуда колебания от m-ой зоны Френеля равно среднему арифметическому от амплитуд, примыкающих к ней зон:

Am Am 1 Am 1

2

С учетом этого допущения амплитуда результирующего колебания в точке P определяется выражением:

A A21 .

Таким образом, действие всей волновой поверхности на точку P сводится к действию ее участка, меньшего центральной зоны.

4

Оценки показывают, что радиус первой зоны Френеля очень мал.

Это означает, что световой поток распространяется от P0 к P как будто внутри очень узкого канала, т.е. прямолинейно.

Таким образом, принцип Гюйгенса – Френеля объясняет прямолинейное распространение света в однородной среде.

Некоторые дополнительные выводы из принципа Гюйгенса – Френеля:

1. Если закрыть все зоны, кроме первой, то амплитуда в точке P увеличится по сравнению с полностью открытым волновым фронтом в два раза (A A1 ) , а

интенсивность в четыре раза (I ~ A2 ) .

2. Если отверстие в преграде открывает для точки P две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля (A A1 A2 ) , хотя

световой поток оказывается в два раза больше.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются амплитудные и фазовые зонные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля.

Интенсивность света в точке наблюдения можно увеличить с помощью

зонной пластинки.

Впростейшем случае это стеклянная пластинка, на поверхность которой нанесены по принципу расположения зон Френеля чередующиеся прозрачные и непрозрачные кольца.

Если установить пластинку в строго определенном месте, то она перекроет все четные или нечетные зоны.

Врезультате этого интенсивность света в точке наблюдения будет значительно больше, чем при полностью открытом волновом фронте.

Следовательно, зонная пластинка действует подобно собирающей линзе.

Задачу о распространении света от источника P0 к точке Р решают также методом сложения амплитуд. Для этого волновую поверхность разбивают на кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине (разность хода от краев зоны до точки Р составляет одинаковую для всех зон ма-

лую долю ).

Колебание, создаваемое в точке Р такой зоной, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания (см. Савельев И.В. Курс физики т.2 §67). Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами в точке P, медленно убывает при переходе от зоны к зоне. Каждое следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту же величину. Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рис. 3.

Если бы амплитуды, создаваемые отдельными зонами, были одинаковыми, конец последнего из изображенных на рис. 3 векторов совпал бы с началом первого вектора. В действительности значение амплитуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спиралевидную линию.

5

ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ КРУГЛОГО ОТВЕРСТИЯ И ОТ НЕПРОЗРАЧНОГО ДИСКА.

Рассмотрим дифракцию сферических волн, или дифракцию Френеля, осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.

1. Дифракция на круглом отверстии.

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием.

где m – целое число, то отверстие оставит от-

крытыми ровно m первых зон Френеля по- I строенных для точки Р. Таким образом число б)

открытых зон Френеля определяется выражением:

Если m – нечетное, в центре будет светлое кольцо.

Пример:

Для m = 1. => A = A1 т.е. в 2 раза больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием.

7

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Следовательно, в точке Р всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля.

Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

8