лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ №22 Дифракция Фраунгофера от щели
.pdf
ЛЕКЦИЯ № 22 ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА ОТ ЩЕЛИ.
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЁТКА. УГЛОВАЯ ДИСПЕРСИЯ.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РЕШЁТКИ.
Рассмотрим дифракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах, называемую дифракцией Фраунгофера – в честь немецкого физика. Она наблюдается, когда источник света и точка наблюдения бесконечно далеко удалены от препятствия.
M |
b |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
C
D
B B0 Э
Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости бесконечно длинной узкой щели шириной b (т.е. длина ширины щели).
Оптическая разность хода между крайними лучами MC и ND, идущим от щели под углом :
= NF = bsin . (1)
Разобьѐм открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели.
I
1
0,047
|
|
|
|
|
|
0,017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0083 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin |
|||||
2 b |
b |
|
b |
2 b |
3 b |
|||
M 1 2 3 N
/ 2
Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краѐв этих зон была /2, т. е. на ши-
рине щели поместится / 2 зон.
Так как плоскость щели совпадает с фронтом волны, то все точки фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены в направлении наблюдения.
Из (1) следует, что число зон Френеля, укладывающихся в щель, зависит от значения , а от числа зон, укладывающихся на ширине щели, зависит результат сложения вторичных волн.
Из построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, т.к. колебания от каждой пары соседних зон взаимно поглощают друг друга.
СЛЕДОВАТЕЛЬНО: |
|
|
|
а) Если число зон Френеля чѐтное |
|
|
|
bsin 2m |
|
, |
(2) |
|
2 |
|
|
то в точке B наблюдается дифракционный минимум.
б) Если число зон Френеля нечѐтное, то
bsin (2m 1) |
|
, m = 1,2,3… |
(3) |
|
2 |
|
|
то в точке B наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действительной одной не скомпенсированной зоне Френеля.
В прямом направлении ( = 0) щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью I, т.е. в
точке В0 наблюдается центральный дифракционный максимум.
Из условий числа зон Френеля (2) и (3) можно найти направления на точки
экрана, в которых I – интенсивность равна нулю (минимальна). sin min mb
или максимальна
sin max (2m 1) 2b .
Мы получаем дифракционный спектр с убывающей интенсивностью.
Сужение щели приводит к расплытию и уменьшению яркости центрального и других максимумов ( = 0)
2b – угловая ширина.
Расширение щели приводит к более яркой картине, дифракционная картина сужается, поэтому при широкой щели максимумы первого (m = 1), второго (m = 2), и других порядков сливаются с центральным, дифракционная картина исчезает.
Положение максимумов и минимумов для данной щели зависит от , т.е. они наблюдаются при различных углах (на рисунке модель).
К З Ф К З Ф |
|
Ф З К Ф З К |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
m 1 0 |
m 1 |
m 2 |
Главный максимум будет общим для всех длин волн (sin = 0) в виде белой полоски, переходящей в цветные (m = 1,2,3…) от фиолетового цвета к красному.
При смещении щели параллельно самой себе, дифракционная картина остаѐтся на месте (на экране).
При смещении линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.
2
Рассмотрим дифракцию на одномерной дифракционной решетке – системе параллельных щелей равной ширины (b), лежащих в одной плоскости и разделѐнных равными по ширине непрозрачными промежутками (a) (см. рис.).
|
|
|
Дифракционная картина на решѐтке опреде- |
|
|
|
|
ляется как результат взаимной интерференции |
|
|
|
|
волн, идущих от всех щелей, т.е. осуществляется |
|
M N |
C |
D |
многолучевая интерференция когерентных ди- |
|
фрагированных пучков света от всех щелей. |
||||
|
|
MN b |
||
|
|
Рассмотрим дифракционную решѐтку, состо- |
||
F |
|
NC a |
ящую из двух щелей. Ширина щели – b, ширина |
Ëнепрозрачной части – a.
|
|
Величина |
|
|
|
|
d = a + b |
(4) |
|
|
|
называется постоянной (периодом) дифракци- |
||
|
|
онной решѐтки. |
|
|
|
|
Так как щели находятся на одинаковых рас- |
||
В |
Э |
|||
стояниях друг от друга, а плоская монохромати- |
||||
|
|
|||
ческая волна падает нормально к плоскости решѐтки, то разности хода лучей, идущих от соседних щелей для данного направления , будут одинаковы в пределах всей дифракционной решѐтки
= CF = (a + b)sin = dsin . |
(5) |
В тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях (вспомним, перемещение щели не изменяет картины), т.е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (2)
bsin = ±m , m = 1,2,3… |
(2 ) |
Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей от двух щелей, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т.е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что они будут наблюдаться для направле-
ний, которым соответствует разность хода лучей /2, |
3 |
, …посылаемых, напри- |
|
|
|||
2 |
|
|
|
мер, от крайних левых точек M и C обеих щелей. Тогда с учѐтом (5) условие до- |
|||
полнительных минимумов: |
|
||
dsin (2m 1) , m = 0,1,2… |
(6) |
||
2 |
|
|
|
Действие одной щели будет усиливать действие другой, если |
|
||
|
|
||
dsin 2m 2 m , m = 0,1,2… |
(7) |
||
что является условием главных максимумов.
Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей определяется из условия:
Главные минимумы:
bsin , 2 , 3 ...
3
Дополнительные минимумы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dsin |
|
, |
3 |
, |
5 |
... |
(8) |
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Главные максимумы:
dsin 0, , 2 , 3 ...
Между соседними главными максимумами имеется N 1 добавочных ми-
нимумов – они возникают в направлениях, в которых колебания от отдельных щелей гасят друг друга:
d sin m m |
|
, где |
m 0, 1, 2, ... , |
m 1, 2, ..., ( N 1) . (2.4) |
|
N |
|||||
|
|
|
|
Между добавочными минимумами возникают слабые вторичные максимумы, число которых равно N 2 . Из выражений (2.2) и (2.3) следует, что при отдельных значениях m главные максимумы могут и не возникать. Это наблюдается, ко-
гда отношение ширины щели b к периоду d дифракционной решетки b равно от- d
ношению целых чисел. Например, если db 12 (d = 2b), то происходит наложение
минимума первого порядка на максимум второго порядка, в результате чего последний пропадает. При этом все четные главные максимумы также наблюдаться не будут (рис.).
I
N 4
3 |
2 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
2 |
sin |
|
|
d |
b |
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
||
d |
d |
|
d |
|
|
d |
b |
|
||||||
|
d |
|
||||||||||||
При падении плоской световой волны на дифракционную решетку под углом к нормали угловые положения главных дифракционных максимумов определяются условием:
d sin sin m ,
где m 0, 1, 2, ... ; – угол между нормалью к решетке и направлением распро-
странения волн, образующих m-й максимум; при этом должно выполняться условие, что оба угла и отсчитываются от нормали к решетке в одном направлении.
4
То есть между двумя главными максимумами решѐтки с двумя щелями располагается один дополнительный минимум. Аналогично при трѐх щелях между двумя максимумами располагается два дополнительных минимума, при четырѐх щелях – три дополнительных минимума и т.д. (см. рис.).
|
|
|
|
Если дифракционная решѐтка состоит из N |
|||
N 1 |
|
|
щелей, то условие главного минимума – (2 ), |
||||
|
|
главного максимума – (7), а условие дополни- |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
тельного минимума – |
|
||
|
|
|
|
dsin m |
|
; |
(9) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N 2 |
|
|
(m =1, 2, … , N 1, N + 1, … , 2N 1, 2N + 1,…) |
||||
|
|
где m может принимать все целочисленные |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
значения, кроме 0, N, 2N,…, те, при которых (9) |
|||
|
|
|
|
переходит в (7). |
|
||
|
|
|
|
Следовательно, в случае N щелей между |
|||
|
|
|
|
двумя соседними главными максимумами рас- |
|||
|
|
|
|
полагается N1 дополнительных минимумов, |
|||
|
|
|
|
разделѐнных вторичными максимумами, созда- |
|||
|
|
|
|
||||
N 3 |
|
|
ющих слабый фон. Чем больше щелей, тем |
||||
|
|
|
|
больше минимумов между соседними главными |
|||
|
|
|
|
максимумами, тем более интенсивные и глав- |
|||
|
|
|
|
ные максимумы. |
|
||
|
|
|
|
Дифракционные решѐтки бывают про- |
|||
|
|
|
|
зрачные и отражательные. Прозрачные дифрак- |
|||
|
|
|
|
ционные решѐтки делают из стеклянных или |
|||
|
|
|
|
кварцевых пластинок, на поверхность которых |
|||
|
|
|
|
по специальной технологии наносится ряд па- |
|||
раллельных штрихов. Промежутки между штрихами являются щелями. |
|
||||||
|
Отражательные – |
на поверхность металлического зеркала |
наносятся |
||||
штрихи (алмазным резцом) – свет падает наклонно. Существуют вогнутые отражательные решѐтки, фокусирующие дифракционные спектры без линзы. Лучшие решѐтки имеют до 1200 штрихов на 1 мм (d 0,8 мкм).
Мы уже отмечали что, положение главных максимумов (кроме нулевого) дифракционной решетки зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т.е. при каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. изображены спектры различных порядков для белого света. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.
5
Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки
С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период d решетки известен, то определение длины сводится к измерению угла m, соответствующего направлению на выбранную линию в спектре m-го порядка. На практике обычно используются спектры 1-го или 2-го порядков.
Основными характеристиками любого спектрального прибора являются
дисперсия и разрешающая сила.
Дисперсия определяет угловое и линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, 1Åангстрем, 1 мкм и т.д. в зависимости от единицы измерения).
Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн δ , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.
Определение:
Угловой дисперсией называется величина
D ,
где δ – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δ.
Линейной дисперсией называют величину
Dmin l ,
где δl – линейное расстояние на экране между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δ.
f |
|
|
|
l 
l
При небольших углах можно считать, что
l f
где f – фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране, т.е. линейная и угловая дисперсия связаны между собой
Dmin = fD.
Выразим угловую дисперсию дифракционной решѐтки, продифференцировав условие главного максимума
dsin m
по левую часть и по правую часть, получим dcos m .
Следовательно
6
D |
|
|
m |
|
|
|
. |
||
|
d cos |
|||
В пределах небольших углов (cos 1)
D md ,
т.е. чем выше порядок спектра, тем больше дисперсия. Для линейной дисперсии
Dmin f md ,
т.е. влияет f.
Определение: Разрешающей силой (способностью) спектрального прибора
называют безразмерную величину
R ,
где δ минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которых эти линии воспринимаются раздельно.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРИБОРА.
Критерии Релея изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис а). При этом интенсивность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме. Этого достаточно для разрешения линий 1 и 2.
При нарушении критерия Релея наблюдается одна линия (рис б).
ЗАМЕЧАНИЕ!!! БОЛЕЕ ДЕТАЛЬНО!!
Возможность раздельного восприятия (разрешения) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума.
Рассмотрим результирующую интенсивность при сложении двух близких максимумов.
7
ВОЗМОЖНЫ ДВА СЛУЧАЯ:
а) оба максимума (пунктирные линии) воспринимаются как один, т.е. две линии сливаются в одну.
1 |
2 |
б) между максимумами лежит минимум, т.е. две
линии видны раздельно.
I0
0,8 I0
1 2
Это возможно, когда середина одного максимума совпадает с краем другого в соответствии с критерием Рэлея:
Изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого.
8