Параметр σв нормальном распределении представляет собой среднее квадратическое отклонение случайной величиныХ .

5.9.Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла)

(v 0).

Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину Апри заданномh.

Решение.По свойству плотности вероятности

имеем

Отсюда

(этот интеграл можно найти в справочнике, например, А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. – М.:Наука, 1981).

Математическое ожидание скорости молекул

Для подсчёта дисперсии воспользуемся формулой

.

В соответствии с этим получим

Вычислим по частям интеграл

Теперь вычислим определенный интеграл:

.

Здесь

- спецфункция, которая называется функцией ошибок. Она протабулирована (приложение, табл. 1) и

erf(0) = 0, erf() = 1.

Вычислим дисперсию

5.10. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задаётся формулой

, ( >0).

Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

Решение. Пусть случайная величина X – время поиска, необходимое для обнаружения судна. Функция распределения F(t)=P(x<t) есть вероятность того, что за время t судно будет обнаружено, т.е. по условию

.

Среднее время поиска – это математическое ожидание случайной величины Х, которое находим по формуле

Поскольку плотность вероятности

,

то

5.11. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая является случайной величиной, распределённой по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 62 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали.

а) более 55 мм;

б) менее 40 мм.

Решение. Случайная величина X называется распределённой по нормальному (гауссовскому) закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

где а = М(X) – математическое ожидание, - среднее квадратичное отклонение. В этом случае

где

- нормированная функция Лапласа, таблица которой приведена в приложении (табл. 2).

Заметим, что между функциями

и

имеет место следующее соотношение

, .

Поскольку P (32<X<68) = 1, то учитывая, что a = 50, получим:

Функция нечётная,

,

поэтому

.

По таблице для найдём аргументx = 5, следовательно,

, .

Вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм найдём, используя нормированную функцию Лапласа:

Аналогично найдём вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 40 мм:

5.12. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y – расстояние от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы – независимы и распределены нормально со средними квадратичными отклонениями м,м и математическими ожиданиямиM(X) = M(Y) = 0.

Найти:

а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы;

б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причём для разрушения моста достаточно одного попадания.

Решение. а) Для нормально распределённой случайной величины Х вероятность того, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания меньше δ, равна:

Вероятность попадания бомбы найдём по теории умножения вероятностей для независимых событий:

=4  Ф(2,5)  Ф(1)=4  0,4938  0,3413=0,6741.

б) перечислим всевозможные исходы испытания:

(ПП), (НП), (ПН), (НН).

Это полная группа событий. Благоприятствующих событию

β = {мост разрушен}

исходов три:

(ПП), (НП), (ПН).

Событие С = (НН) является противоположным событию β, следовательно

P(β) = 1 - P(C).

Событие Сесть произведение (совместное появление) независимых событий, вероятность которых равна

P(H) = 1 - P(A) = 1 - 0,6741 = 0,3259.

Окончательно получим: