Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Если для подынтегральной функции можно найти первообразную, то определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

 -Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить определенный интеграл как разность первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования, не вычисляя предела интегральной суммы

.

Можно выделить два этапавычисления определенного интеграла.

• Одним из методов интегрирования (см. тему 6) находят первообразную F(x) для функцииf(x ).

• Вычисляют разность значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры вычисления определенных интегралов можно найти в разделеПримеры выполнения обязательных заданий по теме 7 cучетом некоторых особенностей, сведенных в схему.

Особенности вычисления определенного интеграла

При замене переменных (подстановках)	При интегрировании по частям
Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования	Не следует забывать, что определенный интеграл – это число и при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все слагаемые формулы
, где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ; .	.

Вычисление площадей криволинейных фигур

Из задачи о площади криволинейной трапеции ясно, что с помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских криволинейных фигур. При этом следует различать два случая.

Площадь заключена между заданными кривыми.	Площадь лежит под (над) заданными линиями (между линиями и осью ОХ).
Тогда, определив точки пересечения линий, т.е. пределы интегрирования, можно найти площадь как разность площадей под вышележащей и нижележащей кривой.	По рисунку видно, что в данном случае общая площадь складывается из площадей под линией и
; по свойству линейности

Среди геометрических приложений определенного интеграла можно еще отметить :

	Вычисление длины дуги кривой от точки А до точки В : .
	Вычисление объемов тел вращения: , если вращение части дуги функциипроисходит относительно оси 0Х, , если вращение происходит относительно оси 0У , .

Применение определенного интеграла в экономических задачах

Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени [0; Т].

Если производительность не изменяется с течением времени ( f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени [t, t +t], находится по формуле: = f(t) t.

В общем случае справедливо приближенное равенство f()t, где   [t, t+t], которое оказывается тем более точным, чем меньше t.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками:

0 = t₀ < t₁ < t₂ << t_n = T. Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], имеем = f(_i) t_i, где _i[t_i-1, t_i], t_i = t_i - t_i-1, i = 1, 2,,n. Тогда

При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

По определению определенного интеграла, окончательно получаем:

т.е. если f(t) – производительность труда в моментt, тоесть объем выпускаемой продукции за промежуток [0; T].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени [0; T], численно равен площади под графиком функции z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0; T].

Экономический смысл определенного интеграла - объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

1. Если в функции Кобба-Дугласа^ считать, что затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит

Найдем объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

=	Объем произведенной продукции Q. Интегрируем по частям.
(у.ед.)

2. Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую ОВА), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения. Высокое значение этого коэффициента показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА может быть описана уравнением , гдех – доля населения, у – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини .

так как

Поэтому

С помощью замены, x=sin t можно вычислить

.

Интеграл от квадрата косинуса вычисляется по формуле понижения степени. При подстановке пределов в первообразную учтено, что и.

Итак, коэффициент Джини

Достаточно высокое значение показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

3. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) q, называется дисконтированием (см. тему 4). Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть А_t – конечная сумма, полученная за t лет, и А – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой.

Если проценты простые, то A_t = A×(1 + r t), где r = q / 100 – удельная процентная ставка. Тогда A = A_t / (1 + r t). В случае сложных процентов A_t = A×(1 + r t)^t и потому A = A_t / (1 + r t)^t.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной r, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход A за время Т вычисляется по формуле

4.Пусть известна функцияt = t(x),описывающая изменение затрат времениtна изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, гдеx– порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее времяt_ср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения отх₁дох₂изделий, вычисляется по теореме о среднем:

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t = t(x), то часто она имеет вид

,

где а – затраты времени на первое изделие, b – показатель производственного процесса.

Найдем среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х₁ = 100 до х₂ = 121 изделий, полагая в формуле а = 600 (мин.), b= 0,5.

Используя формулу, получаем

(мин.).