kornil / Новые Изменения мои Part2 / c128_131
.doc____________________________________________Тема 7. Теория___
|
1.
Отрезок интегрирования бесконечен,
подынтегральная функция
|
2.
Подынтегральная функция
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл первого рода – по бесконечному отрезку (НИ-1) |
Несобственный интеграл второго рода – от разрывной функции (НИ-2) |
|
|
Несобственные интегралы определяются как пределы, к которым стремятся определенные интегралы при соответствующих условиях. |
||
|
|
|
|
|
Третий случай (для НИ и первого и второго рода) сводится к сумме двух первых. |
Квадратными скобками отмечены точки разрывов подынтегральной функции. |
|
|
Если
пределы, стоящие в правых частях
равенств, определяющих несобственные
интегралы, существуют
и конечны,
то несобственные интегралы сходятся,
в противном случае расходятся
(предел не существует или бесконечен
-
|
||
на нем непрерывна.
имеет хотя бы один разрыв второго рода
на
,
отрезок интегрирования конечен.
(А)
(В)
(А1)
(В1)
).
Сходящиеся несобственные интегралы обладают всеми свойствами определенных интегралов. Вопрос о сходимости несобственных интегралов можно решить двумя способами:
1. Непосредственное вычисление. Если несложно определить первообразную, то можно вычислить определенный интеграл, затем найти его предел при поставленных условиях и сделать заключение:
-
если при вычислении несобственного интеграла получено любое число, то интеграл сходится (к этому числу);
-
если получена
или предел не существует, то несобственный
интеграл расходится.
ПРИМЕРЫ
|
|
По определению несобственного интеграла первого рода. |
|
|
=
|
Вычислена первообразная и подставлены пределы интегрирования. |
|
|
При
вычислении предела первообразной
учтено, что
сходится. |
||
|
|
По определению несобственного интеграла второго рода. |
|
|
= |
Учтено,
что в пределе
|
|
|
Так
как при вычислении получена
расходится. |
||
=
= 1
и
.
Так как при вычислении получилось
число, то несобственный интеграл
=
.
,
то несобственный интеграл
2. Применение признака сравнения. Не приводя теоремы о признаке сравнения, ограничимся только выводом из нее – практическим способом исследования несобственных интегралов на сходимость
- Сравнивают подынтегральную функцию с функцией, вполне определенной для несобственных интегралов первого и второго рода.
|
Для НИ-1 |
Для НИ-2 |
|
|
|
или
|
|
|
Здесь
|
||
|
|
так
же для
|
|
-
(А1)
- (В1)
.
Известно, что приведенные эти интегралы
обладают следующими свойствами:
Сравнение
происходит путем определения значения
параметра р
функции g(x),
которая должна быть эквивалентной
подынтегральной
при условиях (см. тему 4, вычисление
пределов):
-
для НИ-1:
находится
;
-
для НИ-2:
(или
)
находится
.
и по значению параметра р делается вывод о сходимости интеграла.
ПРИМЕРЫ
Сравните исследование на сходимость двух интегралов с одинаковыми подынтегральными функциями, но различными пределами интегрирования.
|
|
|
|
= |
= |
|
выделение главной части. |
замена сомножителей, не равных нулю, числами. |
|
Сравниваем
с
|
Сравниваем
с
|
=
,
=
,
.
НИ-1
сходится.
,
.
НИ-2
сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь бесконечной фигуры.
|
НИ-1 |
НИ-2 |
|
В
теории вероятностей и математической
статистике значительную роль играет
интеграл Пуассона – Эйлера, доказано,
что он сходится:
Тогда
площадь под кривой Гаусса:
|
Рассмотрим
НИ-2
|
|
|
|
.
равна 1.
.
Не останавливаясь подробно на
вычислении, отметим, что он сходится,
а это значит, что существует конечная
площадь под кривой, изображенной на
рисунке.
