Примеры
Разложить рациональные дроби на сумму элементарных.
|
|
Заданная дробь – неправильная. Выделяем целую часть. | |||
|
= |
Целая часть этой дроби – многочлен нулевого порядка. | |||
|
|
Подбором
определен один из корней многочлена
в знаменателе, действительное число.
Делением определяем следующий,
квадратный многочлен. Его дискриминант
| |||
|
|
Представляем дробь в виде суммы целой части и элементарных дробей. | |||
|
|
Эта
рациональная дробь правильная,
|
| ||
|
х 1 =1, х 2 = 2 - действительные корни, |
Для разложения знаменателя найдем корни квадратных многочленов. |
| ||
|
- комплексные, |
|
| ||
|
=
|
Теперь можно представлять дробь в виде суммы элементарных дробей.
|
| ||
=
=
;
.
Значит, квадратный трехчлен имеет
пару комплексно-сопряженных корней.
=
.
-
-
действительные.
=
Вывод:из представленных свойств рациональной дроби следует, что её интегрирование сводится к интегрированию многочлена (что не представляет трудностей) и интегрированию суммы элементарных дробей.
Схема интегрирования рациональной дроби
Правильная или неправильная дробь?
|
Неправильная. |
Правильная. |
|
Выделить целую часть, т.е. представить дробь как сумму многочлена и правильной рациональной дроби. |
|
Первые два пункта интегрирования правильной рациональной дроби изложены в предыдущем разделе. Рассмотрим на примере выполнение третьего пункта.
Допустим, разложение на элементарные дроби уже получено
,
где A, B, C, D, E – постоянные подлежащие определению. Приведем все элементарные дроби к общему знаменателю. Очевидно, что при равенстве знаменателей полученных дробей можно далее рассматривать только равенство многочленов в числителях.
(*)
Для определения постоянных коэффициентов A, B, C, D, E можно привлечь следующие два соображения.
|
1 способ
Так
как многочлены в равенстве (*)
должны быть тождественно равны, то их
значения равны при любых значениях
|
2 способ
Равенство
(*)
есть тождество, поэтому, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
|
.
Придавая
конкретные значения, получим уравнения
для определения коэффициентов. В
качестве значений
удобно выбирать вещественные корни
знаменателя.
,
получим систему уравнений для
определения неизвестных коэффициентов.
На практике используют оба способа, причем начинают с 1, т.к. он быстрее дает результат.
|
|
1. Подставим в равенство(*)поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента. |
Для применения 2 способа в равенстве (*) надо раскрыть скобки
(**)
|
|
2.
Приравняем в равенстве(**)коэффициенты при одинаковых степенях |
|
|
Учтем уже известные значения коэффициентов. |
|
|
Уравнений достаточно, т.к.требуется определить всего три коэффициента. Решаем полученную систему уравнений. |
.
Начинают с самой высокой степени.
Замечание.Вместо применения2
способа можно было продолжать
подставлять в равенство(*)различные
значения
до получения нужного количества
уравнений. Например,
и т.д.
Теперь рациональная дробь представлена в виде
и готова для интегрирования.
Приведем формулы интегрирования элементарных дробей.
|
(а) |
(б) |
|
|
|
|
(в) | |
|
| |
|
| |
если
(г)
Вычисление интегралов от простейших
дробей четвертого типа достаточно
сложно, поэтому при необходимости можно
воспользоваться рекуррентными
соотношениями, приведенными в любом
справочнике по высшей математике. Оно
позволяет выразить
через
и применяется нужное число раз.
Проинтегрируем рациональную дробь.
=
=
=
=
=
=
.
Очевидно, в данном случае интегрирование элементарной дроби третьего типа (в) проще, чем показано в общих формулах.
Примеры интегрирования рациональных дробей приведены также в разделе "Примеры выполнения обязательного задания по теме 6".
В заключении приведем рекомендуемый подход к нахождению метода нахождения неопределенного интеграла.