____________________________________________Тема 6. Теория___

Тема 6. Интегральное исчисление функции одного аргумента Неопределенный интеграл. Первообразная

Если основной задачей дифференциального исчисления является поиск производной (или дифференциала) функции, то интегральное исчисление решает обратную задачу: восстанавливает функцию по заданной производной или дифференциалу.

• Функция называетсяпервообразной для функции на дан-ном промежутке, если в каждой точке этого промежутка:

или, что то же самое, .

• Совокупность всех первообразных функции , отличающихся только произвольными постоянными (), называется неопределенным интегралом функции и обозначается:

.

Здесь - подынтегральное выражение,дифференциал первообразной; - подынтегральная функция,производная первообразной.  - В результате вычисления неопределенного интеграла мы находим функцию по ее дифференциалу, отсюда следует способ проверки – если продифференцировать найденную первообразную, то следует получить подынтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла

1 Из определения следует: и

2 .

Свойства 1 и 2 подтверждают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.

3 ;

.

Свойство 3 показывает, что интегрирование – линейная операция. Это свойство может быть распространено на любое конечное число слагаемых:

.

4 Свойство инвариантности неопределенного интеграла (следует из свойства инвариантности дифференциала функции, см. тему 5).

Если и, то.

Иными словами, вид первообразной не зависит от того, является ли переменной интегрирования функция или независимая переменная.

 - Обратите внимание! Это свойство будет основным при вычислении неопределенных интегралов методом внесения под знак дифференциала (см. далее).

Таблица основных неопределенных интегралов

(обязательна для запоминания !!!)

Подынтегральная функция			Неопределенный интеграл
1	Степенная
	Частные случаи
2	Степенная
3	Показательная
	Экспонента
4	Тригонометрические
5	Обратные тригонометрические
6	Ареасинус или "длинный логарифм"

Следующие интегралы для запоминания не обязательны, так как могут быть получены с помощью основной таблицы и методов интегрирования, но встречаются достаточно часто:

7
8
9
10
11

Любой интеграл из таблицы можно проверить дифференцированием. Например, интеграл 9-ый:

,

т.е. производная первообразной равна подынтегральной функции.

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу, можно непосредственно интегрировать некоторые функции.