Задачи для самостоятельного решения
Найти общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами
1)
;2)
;3)
;
4)
;5)
;6)
;
7)
;8)
;
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
(ЛНДУ). (5.4.1)
Соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
(ЛОДУ). (5.4.2)
По теореме о структуре общего решения ЛНДУ общее решение дифференциального уравнения (10.4.1) имеет вид:
,
где
и
-линейно
независимые частные решения
дифференциального уравнения (5.4.2), а
-
какое-нибудь частное решение
дифференциального уравнения (5.4.1);
-
произвольные постоянные.
Для отыскания общего решения ЛНДУ (5.4.1) рассмотрим метод вариации произвольных постоянных (в форме Лагранжа).
Находим общее решение ЛОДУ (5.4.2)
, (10.4.3)
где
и
-линейно
независимые частные решения
дифференциального уравнения (5.4.2),
-
произвольные постоянные.
Запишем общее решение ЛНДУ (5.4.1) в форме (5.4.3)
, (5.4.4)
где
и
-неизвестные
функции. Функции
и
подберем
так, чтобы функция
,
определяемая соотношением (5.4.4) была
решением дифференциального уравнения
(5.4.1).
3.
Для определения
и
необходимо
решить систему линейных неоднородных
алгебраических уравнений:
. (5.4.5)
Из
системы уравнений (5.4.5)
и
определяются
единственным образом, так как определитель
системы
,
функции
и
линейно независимы.
Пусть
и
.
Тогда
и
,
где
и
постоянные
интегрирования.
4.
Найденные
и
подставим в соотношение (5.4.4) и получим
общее решение ЛНДУ(15.4.1).
или
. (5.4.6)
В
соотношении (5.4.6)
-
общее решение ЛОДУ (5.4.2), а функция
-частное
решение ЛНДУ(5.4.1).
Пример.
Найти общее
решение ЛНДУ:
(5.4.7)
Найдем общее решение ЛОДУ:
;
,
отсюда
и
- общее решение однородного дифференциального
уравнения.
Общее решение ЛНДУ ищем в виде
,
(5.4.8)
где
и
-
неизвестные функции, подлежащие
определению.
Для определения этих функций составим систему уравнений:
,
отсюда
находим
,
.
Интегрируя,
получим:
Подставив
и
в
соотношение (5.4.8), получим общее решение
ЛНДУ (5.4.7):
или
,
где
- общее решение ЛОДУ,
- частное решение ЛНДУ.
Примечание. Метод вариации произвольных постоянных применим к ЛНДУ более высоких порядков (n>2).
Задачи для самостоятельного решения
Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений с использованием метода вариации произвольной постоянной.
1)
,2)
,
3)
,4)
,
5)
,6)
,
7)
,8)
,
5.5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
,
(5.5.1)
где
- действительные числа. Соответствующее
ему ЛОДУ:
.
Известно, что общее решение ЛОДУ имеет вид:
,
где
- произвольные постоянные
,
а
- фундаментальная система решений этого
дифференциального уравнения.
Общее решение ЛНДУ (5.5.1) определяется формулой:
,
где
-
какое-нибудь частное решение (5.5.1).
Если
имеетспециальный
вид, то
частное решение
может быть найденометодом
неопределенных коэффициентов.
1.
Пусть правая часть дифференциального
уравнения имеет вид:
,
где
-
многочлен степениn,
- какое-нибудь действительное число.
1.1.
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде:
,
где
- многочлен степениn
с неопределенными коэффициентами.
Чтобы найти эти
коэффициенты, подставим функцию
в дифференциальное уравнение и в
полученном тождестве приравняем
коэффициенты слева и справа при одинаковых
степенях
.
Получим систему n+1
уравнения для определения коэффициентов
.
Пример 1. Найти
общее решение ЛНДУ:
,
.
Рассмотрим
соответствующее ЛОДУ:
.
Характеристическое
уравнение
,
корни этого уравнения
.
Таким образом, число
не является корнем характеристического
уравнения.
Частное решение
ЛНДУ ищем в виде:
.
Подставим функцию
и ее производную
в данное дифференциальное уравнение и
получим тождество:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
получим систему :
.
Отсюда,
, тогда
.
Общее решение дифференциального уравнения:
.
1.2.
Если
является действительным корнем
характеристического уравнения кратностиk,
то частное решение ищем в виде:
.
Пример 2. Найти общее решение ЛНДУ:
,
.
Рассмотрим
соответствующее ЛОДУ:
Характеристическое
уравнение
,
,
корни уравнения
.
Таким образом, число
является действительным корнем 2-й
кратности характеристического уравнения.
Частное решение
ищем в виде:
.
Подставим функцию
и ее производные
и
в данное дифференциальное уравнение и
получим тождество:
.
.
Тогда
.
Общее решение дифференциального
уравнения:
2. Пусть правая часть дифференциального уравнения имеет вид:
,
где 
-многочлены,
и
- какие-нибудь действительные числа.Заметим,
что многочлены
и
могут иметь нулевую степень.
2.1.
Число
не является корнем характеристического
уравнения, тогда частное решение ищем
в виде:
,
где
и
-
многочлены с неопределенными
коэффициентами, степень которых равна
наивысшей из степеней многочленов
и
.
Пример 3. Найти общее решение ЛНДУ
.
Рассмотрим
соответствующее ЛОДУ:
,
.
Число
не является корнем характеристического
уравнения.
Частное решение
ищем в виде:
.
Подставим функцию
и ее производные
и
в данное дифференциальное уравнение и
получим тождество:
приравнивая
коэффициенты при
и
,
получим систему :
или
.
Отсюда
.
Тогда
.
Общее решение дифференциального
уравнения:
.
2.2.
Число
является корнем характеристического
уравнения кратностиk,
то частное решение ищем в виде:
.
Пример 4. Найти
общее решение ЛНДУ:
,
.
Рассмотрим
соответствующее ЛОДУ:
.
Число
является корнем характеристического
уравнения. Частное решение ищется в
виде
.
Подставим функцию
и
ее производные
и
в данное дифференциальное уравнение и
получим тождество
.
Тогда
.Общее
решение дифференциального уравнения: 
.
Примечание.
Если
ЛНДУ имеет вид:
,
точастное
решение
этого уравнения можно представить в
виде суммы
, где
и
соответствующие частные решения
уравнений:
;
Пример
5. Найти общее
решение ЛНДУ:
,
.
Рассмотрим
соответствующее ЛОДУ:
.
Характеристическое
уравнение
корни
Частное решение
ЛНДУ ищем в виде
,
где
и
соответственно частные решения
дифференциальных уравнений
,
.
Частные решения этих дифференциальных уравнений соответственно равны
Частное решение
ЛНДУ:
Общее решение ЛНДУ
:
