Модуль5. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Порядок старшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

Всякая функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называетсярешением этого уравнения. Выражение неявно задающее решение уравнения, называетсяинтегралом этого уравнения. График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой. Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

10.1 Дифференциальные уравнения I порядка, разрешенные относительно производной

Общий вид дифференциального уравнения I порядка:

(5.1.1)

Предположим, что уравнение (5.1.1) можно разрешить относительно производной. Тогда оно примет вид:

(5.1.2)

Задача, в которой требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию, называетсязадачей Коши.

Решение, удовлетворяющее начальному условию, называется частным решением дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения I порядка называется функция , зависящая от одной произвольной постояннойС и удовлетворяющая двум условиям:

1. функция является решением уравнения при любых допустимых значениях постояннойС;

2. выбором произвольной постоянной С можно удовлетворить любому начальному условию .

Соотношение , определяющее общее решение в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения и представляет собой однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Частным решением дифференциального уравнения (5.1.1) называется решение, получаемое из общего решения при каком-либо определенном значении произвольной постоянной С. Решение задачи Коши, т. е. решение, удовлетворяющее начальным условиям, является частным решением.

5.1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (5.1.2) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть может быть представлена как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:.

Уравнение (5.1.2) можно переписать в виде: . (5.1.3)

В последнем уравнении переменные разделены. Интегрируя его, найдем общий интеграл уравнения

.

Если существуют значения , при которых функцияобращается в нульто уравнение (10.1.3) будет иметь еще и решения

Пример. . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Предполагая, что , разделим переменные:. После интег-

рирования получим:

.

Откуда (общее решение уравнения). Решениесодержится в общем при.

К уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных приводятся и уравнения вида: . Сделаем замену переменной, приняв в качестве новой функции функцию. Тогда. Учитывая, что, получим. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, найдем

.

Пример. . Правая часть этого уравнения есть функция от. Поэтому полагаяполучим:. Разделяем переменныеи интегрируем. Так как, то общий интеграл уравнения имеет вид:.