4. Множество точек любой прямой имеет мощность континуума.
Соответствующая
биекция:
.
5.
Множество точек
квадрата
,
то есть точек, у которых
тоже имеет мощность континуума, то
есть справедливо:
Доказательство.
Как и ранее, каждую точку
отрезка
запишем в виде бесконечной десятичной
дроби:
…
Соответствующая биекция
задаётся формулами:
(например, точке
отрезка
биекция сопоставляет точку
квадрата, координаты которой таковы:
,
)
и эта биекция доказывает теорему.
Замечание.
Аналогично доказывается, что и трёхмерный,
и четырёхмерный куб, и куб любой конечной
размерности имеет мощность континуума.
Отсюда следует, что множество всех точек
плоскости
,
трёхмерного пространства
и любого конечномерного пространства
имеет мощность континуума. Может
показаться, что множеств с большей
мощностью, чем мощность континуума, не
существует. Но это не так. Рассмотрим
множество всех подмножеств данного
множества
мощности
.
Его мощность обозначается как
.
Это обозначение связано с тем, что если
множество конечно и содержит
элементов, то число всех его подмножеств
(включая несобственные) равно
.
Действительно, если обозначить элементы
данного множества через
,
то каждому подмножеству этого множества
взаимно однозначно соответствует
упорядоченный набор из
нулей и единиц, в котором единицы
соответствуют элементам, вошедшим в
подмножество, а нули — тем, которые не
вошли. Для наглядности перечислим все
подмножеств множества
,
состоящего из трёх элементов:
Теорема.
Каково бы ни было множество
мощности
,
существует множество большей мощности,
например,
.
Доказательство.
То, что данное множество эквивалентно
некоторому набору своих подмножеств,
очевидно: оно эквивалентно набору
одноэлементных подмножеств. Поэтому
надо доказать, что не существует биекции
между данным множеством и множеством
всех его подмножеств. Предположим
противное, то есть что существует биекция
,
сопоставляющая каждому элементу
данного множества некоторое его
подмножество
.
Возможны два варианта: 1) элемент
входит в множество
,
которое ему сопоставляет биекция
,
такие элементы будем называть «хорошими»;
2) элемент
не входит в множество
,
которое ему сопоставляет биекция
,
такие элементы будем называть «плохими».
Рассмотрим подмножество
всех «плохих» элементов. Этому подмножеству
биекция
сопоставляет некоторый элемент
данного множества. Он не может быть
«хорошим», так как входит в подмножество
всех «плохих» элементов, и значит, он —
«плохой». Но он не может быть и «плохим»,
так как иначе (то есть если бы он был
«плохим») он входил бы в то множество
«плохих» элементов, которое ему
сопоставляет биекция
,
и, следовательно, был бы «хорошим». Итак,
элемент
— не является ни «хорошим», ни «плохим».
Но каждый элемент обязательно либо
«хороший», либо «плохой». Получили
противоречие. Значит, предположение
неверно, и теорема доказана.
Утверждение 1. Мощность бесконечного множества не изменится, если его объединить со счётным множеством.
Доказательство.
Пусть
— бесконечное множество, значит у него
найдётся счётное подмножество
.
Пусть
— счётное множество, следовательно,
— также счётное множество. По определению
счётного множества между множеством
и множеством натуральных чисел
можно установить биекцию. Таким же
образом установим биекцию между
и
.
Композиция этих биекций будет
биекцией множеств
и
.
В рамках того же отображения переведём
оставшиеся элементы множества
сами в себя, то есть элементы
станут соответствовать самим себе. В
итоге получим биекцию множеств
и
(элементы
отображаются сами в себя,
в
,
также в
),
следовательно, по определению, эти
множества равномощны.
Утверждение 2 (признак бесконечности множества). Множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.
Доказательство.
По определению: множество
бесконечно тогда и только тогда, когда
из него можно выделить собственное
счётное подмножество
.
По предыдущему утверждению множества
и
равномощны, что и требовалось доказать.
Произведение
двух мощностей
и
— мощность прямого произведения двух
множеств
и
(
),
мощность одного из которых равна
,
а другого
(очевидно, что произведение мощностей
не зависит от выбора множеств
и
,
а зависит только от их мощностей).
Аналогично определяется
— произведение любого числа мощностей.
Если
,
,
то
.
Выше
мы доказали, что
…