16. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце . Примеры. Теорема о разложении в на произведение неприводимых множителей. Теорема Безу

Аналогично простым числам простые элементы в кольце имеют специальное название.

Приводимый над полем многочлен — многочлен в кольце , для которого выполняется для подходящих непостоянных многочленов . В противном случае называется неприводимым над .

Замечание. Приводимость или неприводимость данного многочлена существенно зависят от поля .

Примеры.

1. Многочлен неприводим над полем , но приводим над полем : .

2. Многочлен неприводим над полем , неприводим над , но приводим над .

Действительно, в — 3 и 4 — корни многочлена :

Замечание. Из равенства ясно, что линейные многочлены (то есть первой степени, ) неприводимы над любым полем.

Над полем (комплексные числа) неприводимы только линейные многочлены (вспомним основную теорему алгебры: любой многочлен имеет хотя бы один корень, вещественный или комплексный, откуда следует, что любой многочлен в раскладывается на линейные множители).

Над полем (вещественные числа) неприводимы, кроме линейных, квадратные многочлены с отрицательным дискриминантом.

Над полем (рациональные числа) существуют неприводимые многочлены любой степени.

Утверждение. Любой непостоянный многочлен в можно представить в виде произведения константы и неприводимых многочленов с единичными старшими коэффициентами. Это разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Замечание. Это утверждение верно для многочленов от любого члена переменных над любым полем.

Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, , , тогда делит в том и только в том случае, когда в .

Доказательство.

Необходимость очевидна (если в , то есть , то есть , то есть ).

Для доказательства достаточности отметим, что для любого :

Действительно, при делении на даёт в остатке 0, а в частном . Тогда, очевидно, для , если же , то . Теорема доказана.

17. Расширение поля (надполе). Теорема о том, что кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле. Степень расширения. Число элементов этого поля Расширение поля

Если — неприводимый многочлен над полем , то кольцо классов вычетов кольца по модулю является кольцом без делителей нуля (это следует из последней теоремы 12-го вопроса). Однако справедливо более сильное утверждение.

Теорема. Кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле.

Доказательство.

Пусть — любой представитель любого класса вычетов (не совпадающего с ). Так как — неприводимый многочлен, то многочлены и — взаимно просты, следовательно их . А тогда, так как — евклидово кольцо, то в нём найдутся многочлены и такие, что , отсюда ясно, что (так как разность , то есть кратна ). Поэтому принадлежит классу, обратному к классу, содержащему , то есть . Таким образом, все классы, кроме нулевого, обратимы, то есть — поле. Теорема доказана.

Ясно, что поле над полем является подполем поля . В этом случае поле называется расширением (или надполем) поля .

Элементы поля можно представить в виде многочленов, степени которых меньше, чем (представителей соответствующих классов вычетов).

Сложение таких многочленов осуществляется как обычно, а после умножения надо переходить к остатку от деления на , то есть от любого многочлена можно отнять кратное .

На практике используют замену степеней (если ) линейными комбинациями меньших степеней . Действительно, пусть:

Тогда

и далее:

Таким образом выражен через степени не выше , то есть не выше степени .

Пример. Пусть поле . Очевидно, что в многочлен — неприводим. Возьмём элемент этого поля и сравним его по модулю с .

Тогда

.

Заметим ещё, что любое расширение поля можно рассматривать как векторное пространство над . Если образовано, как в теореме 1 (текущего вопроса), то базис этого векторного пространства состоит из многочленов (точнее, классов, которым принадлежат эти многочлены): , где . Размерность этого пространства называют степенью расширения над и обозначают .

— степень расширения над . Обозначение: .

Пример. .

Теорема. Любое конечное поле — надполе поля характеристики состоит из элементов, где — степень расширения.

Доказательство.

Пусть . Это значит, что векторное пространство над полем имеет базис из элементов: . Но тогда всякий элемент однозначно представим в виде линейной комбинации базисных элементов: , причём каждый коэффициент , может принимать различных значений. Отсюда следует, что число таких линейных комбинаций равно . Теорема доказана.