1. Явное перечисление пар, определяющих бинарное отношение.

Пример. .

2. Задание процедуры проверки.

Пример. .

3. Задание матрицей смежности.

Диагональ матрицы смежности рефлексивного отношения состоит из единиц, антирефлексивного — из нулей.

Матрица смежности симметричного отношения симметрична относительно диагонали ().

Можно доказать, что для того, чтобы отношение было транзитивным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица смежности удовлетворяла неравенству .

Пример. . Пусть : если , то , иначе .

В данном случае приведена матрица смежности отношения сравнимости по модулю 3 на множестве .

Как можно понять, отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

4. Задание графом.

Элементы множества изображаются точками плоскости и образуют множество вершин графа. Отношения изображаются рёбрами графа: если пара входит в отношение, то из вершины проводится ориентированное ребро в вершину .

Граф рефлексивного отношения имеет петли в каждой вершине.

Граф симметричного отношения вместе с ребром, соединяющим с , содержит ребро, соединяющее с .

Граф транзитивного отношения обладает следующим свойством: если из вершины , двигаясь вдоль рёбер, можно попасть в вершину , то в графе должно быть ребро, непосредственно соединяющее с .

Пример. Граф для отношения сравнимости по модулю 3 на множестве состоит из трёх компонент связности: , и .

Рисунок 16

Петли изображены в виде небольших окружностей.

Ориентированные рёбра заменены неориентированными рёбрами, так как отношение симметрично.

5. Задание списком смежностей.

Для каждого элемента множества перечисляются те элементы, которые находятся с ним в данном отношении.

Пример. Список смежности для отношения сравнимости по модулю 3 (см. пред.):

Функция

Функция (отображение) — бинарное отношение , обладающее следующим свойством: если и , то . Это означает, что если определен первый элемент упорядоченной пары, то второй элемент определяется единственным образом. Это свойство функции называют однозначностью. Обозначают функцию или , что означает, что функция задана на множестве со значениями во множестве и осуществляет отображение множества во множество (или устанавливает соответствие между множествами и ). Если , то элемент из множества называют аргументом функции, или прообразом элемента , а элемент — значением функции, или образом элемента . В силу условия однозначности у всякого прообраза имеется единственный образ.

Аргументы функции — элементы произвольной природы, в частности, они могут быть упорядоченными последовательностями . В этом случае функцию называют функцией переменных или .

Область определения функции — множество её прообразов: . Если область определения совпадает с (), то функция называется тотальной, в противном случае — частично определенной.

Область значений функции — множество её образов: . Если область значений совпадает с множеством (), то функция называется сюръективной.

Инъективное отображение. Пусть . Функция инъективна, если (или, иначе, из и следует, что ). То есть если у каждого образа () есть не более одного прообраза ().

Сюръективное отображение. Пусть . Функция сюръективна, если . То есть если у каждого образа () есть хотя бы один прообраз (). Говорят, что такая функция отображает множество на множество .

Биективное отображение. Пусть . Функция биективна, если она одновременно инъективна и сюръективна. То есть осуществляет взаимно однозначное (один к одному) соответствие между двумя множествами и .

Примеры. ()

— инъективна, но не сюръективна (так как всегда выше оси ).

— сюръективна, но не инъективна ().

— биективна.

Бинарное отношение, но не функция	Сюръекция, но не инъекция
Инъекция, но не сюръекция	Тотальная биекция

Рисунок 17

Пример. Пусть — множество пальто в гардеробе, — множество крючков. Отображение, при котором каждому пальто сопоставляется крючок, на котором оно висит, является инъективным, если на каждом крючке висит не более одного пальто (некоторые крючки могут быть пустыми). Отображение является сюръективным, если на каждом крючке висит хотя бы одно пальто (на некоторых крючках может быть несколько пальто). Отображение является биективным, если на каждом крючке висит ровно одно пальто.

Если существует биективное отображение конечного множества в конечное множество , то в множествах и поровну элементов. Если в множестве больше элементов, чем в множестве , то не существует инъективного отображения в . Если существует сюръективное отображение в , то в не меньше элементов, чем в .

Так как функция — бинарное отношение, то можно построить обратное бинарное отношение , которое не обязательно будет функцией. Условие однозначности может быть нарушено.

Пример. На множестве вещественных чисел задано отношение — функция. Но обратное отношение уже функцией не является, так как ему, например, принадлежат пары и .

Чтобы условие однозначности выполнялось для , функция должна быть биективной. (Если функция будет инъективной, то может не найтись какой-нибудь для , а если будет сюръективной, то могут найтись два или более для .)

Так как всякая функция — бинарное отношение, то композиция функций строится как композиция бинарных отношений.

Пусть и . Их композиция определяется обычным образом:

Рисунок 18

Вместо «» некоторые пишут «». На деле же математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Поэтому важно заранее обозначить композицию так, как будете её использовать в дальнейшем.

Композиция взаимно однозначных функций — взаимно однозначная функция, при этом .

Пример. Пусть , тогда

Из примера видно, что композиция — некоммутативная операция: