2. Функция. Бинарное отношение. Тотальность, сюръективность, инъективность, биективность. Примеры Множество

Множество — совокупность объектов любой природы. Эти объекты называются элементами множества.

Символ — отношение принадлежности. Запись означает, что элемент принадлежит множеству . Если элемент не принадлежит множеству , то пишут (или ).

Принцип объёмности. означает, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Пример: . Но .

Символ — отношение включения. Запись означает, что каждый элемент множества есть элемент множества . То есть — подмножество множества .

Символ — отношение строгого включения (то есть ). Запись означает, что каждый элемент множества есть элемент множества и больше по количеству элементов. То есть — собственное подмножество множества .

Заметим, что:

• .

• Если , то .

• Если , то .

Нельзя смешивать понятия принадлежности и включения. Хотя , , но неверно, что , а — верно.

Пустое множество — множество, не содержащее элементов. Пустое множество есть подмножество любого множества.

У каждого множества есть два подмножества, которые называют несобственными — само множество и пустое множество. Все остальные подмножества — собственные.

Множество всех подмножеств называется множеством-степенью (или булеаном) и обозначается .

Пример. . Собственные подмножества : , несобственные: .

Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Объединение множеств () — множество, все элементы которого являются элементами множества или : . .

Пример. .

Пересечение множеств () — множество, все элементы которого являются элементами множеств и : . .

Очевидно, что и .

Пример. .

Множества и — непересекающиеся, если .

Разность () — множество, все элементы которого являются элементами множества и не принадлежат множеству : .

Пример. .

Симметрическая разность () — множество, каждый элемент которого есть либо в , либо в , но не в обоих. .

Пример. .

Универсальное множество — множество всех рассматриваемых в ходе данного рассуждения множеств.

Дополнение () — множество всех элементов , которые не принадлежат множеству . То есть . Причём: .

Пример. .

Прямое (декартово) произведение () — множество всех упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит множеству , а второй множеству : .

Прямое произведение множеств () — множество всевозможных упорядоченных наборов из элементов , где . То есть Каждый такой набор элементов называется кортежем. Произведение множества самого на себя называется квадратом множества и обозначается . Аналогично -ая степень : .

Пример. .

Пример. .

Операция дистрибутивна (), но не коммутативна () и не ассоциативна ().

Диаграммы Эйлера — Венна. На диаграммах Эйлера — Венна множество изображается прямоугольником, а множества — областями внутри прямоугольника. На следующем рисунке проиллюстрированы введённые определения операций над множествами.

Рисунок 13

Алгебра множеств — это пример булевой алгебры, поэтому все указанные далее (см. следующую таблицу) свойства операций следуют из свойств дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Таблица 2

Свойства операций над множествами
Идемпотентность
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Свойства
Свойства
Свойства дополнения
Законы поглощения
Законы де Моргана