
- •По дискретной математике
- •0. Введение. Граф
- •Виды графов
- •Основная информация
- •Матрицы
- •1. Сеть. Потоки в сети. Теорема Форда — Фалкерсона
- •2. Функция. Бинарное отношение. Тотальность, сюръективность, инъективность, биективность. Примеры Множество
- •Бинарное отношение
- •Свойства бинарных отношений на множестве
- •Явное перечисление пар, определяющих бинарное отношение.
- •Задание процедуры проверки.
- •Задание матрицей смежности.
- •Задание графом.
- •Задание списком смежностей.
- •Функция
- •3. Бинарное отношение. Свойства. Матрица смежности и граф отношения. Отношение эквивалентности. Примеры
- •Отношение эквивалентности
- •4. Множество точек любой прямой имеет мощность континуума.
- •4. Алгебраическая структура. Полугруппа, моноид, группа. Примеры
- •Полугруппа
- •5. Группа. Абелева группа. Аддитивная группа. Мультипликативная группа. Конечная группа. Таблица Кэли. Циклическая группа. Декартово произведение групп Группа
- •Циклическая группа
- •Декартово произведение групп
- •6. Группа подстановок. Симметрическая группа . Умножение подстановок. Нейтральный элемент. Обратная подстановка. Число элементов группы Группа подстановок
- •7. Цикл. Теорема о представлении подстановки в виде произведения независимых циклов. Транспозиция. Чётные и нечётные подстановки. Знакопеременная группа Цикл
- •Гомоморфизм. Изоморфизм. Теорема Кэли
- •8. Кольцо. Свойства. Коммутативное кольцо. Делители 0. Область целостности. Примеры. Подкольцо. Единица кольца. Поле. Примеры Кольцо
- •9. Идеал. Главный идеал. Теорема об идеалах поля (только и ). Следствие об идеалах в кольце Идеал
- •10. Сравнения. Классы вычетов по модулю (по идеалу ). Свойства. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера. Теорема Эйлера (теория чисел) Сравнения
- •Свойства сравнений
- •11. Характеристика кольца. Теорема о характеристике кольца без делителей 0. Примеры. Кольцо классов вычетов. Примеры Характеристика кольца
- •12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой Простой идеал
- •13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры Поле классов вычетов
- •14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры Евклидово кольцо
- •Свойства евклидовых колец
- •В евклидовом кольце все идеалы главные.
- •Любое евклидово кольцо содержит 1.
- •Если в евклидовом кольце ( делит ), но не делит , то .
- •15. Кольцо многочленов . Условия того, что кольцо — евклидово кольцо Кольцо многочленов
- •16. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце . Примеры. Теорема о разложении в на произведение неприводимых множителей. Теорема Безу
- •17. Расширение поля (надполе). Теорема о том, что кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле. Степень расширения. Число элементов этого поля Расширение поля
- •18. Поле Галуа. Примеры полей Галуа как расширения полей. Таблицы сложения и умножения Поле Галуа
- •Литература
11. Характеристика кольца. Теорема о характеристике кольца без делителей 0. Примеры. Кольцо классов вычетов. Примеры Характеристика кольца
Характеристика
кольца
с 1 — целое положительное число
,
для которого выполняется
и никакое другое положительное число,
меньшее
,
этим свойством не обладает. Если такого
нет, то говорят, что кольцо имеет
характеристику 0.
Примеры.
-
Кольцо
имеет характеристику 0, так как
; кольцо
также имеет характеристику 0.
-
Кольцо
, то есть множество классов вычетов по
, имеет характеристику
. Действительно
. В частности, кольцо
, то есть множество классов вычетов по модулю 3:
, так как
, то есть характеристика
равна 3.
Лемма.
Если характеристика кольца
равна
,
то для любого
.
Теорема. Характеристика любого кольца без делителей 0 (в частности, поля) либо 0, либо простое число.
Действительно,
если нет делителей 0, то есть нет таких
чисел
,
что
,
то из определения характеристики
следует, что либо
,
либо
— простое, так как в противном случае
и, следовательно,
,
то есть имеются делители 0. Теорема
доказана.
Следствие.
— множество классов вычетов по
,
где
— не простое, имеет делители 0. Например,
имеет делители 0:
.
12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой Простой идеал
Простой
идеал
в кольце
— идеал, в котором из
следует, что либо
,
либо
,
либо оба.
Единичный
идеал
— всегда простой, так как это само кольцо
.
В
кольце целых чисел
идеал
прост при простом
.
Так, например,
— прост, так как
содержит числа кратные 3. Идеал
— не прост, так как
— не простое. Например,
.
Теорема.
Идеал
кольца
является простым тогда и только тогда,
когда кольцо классов вычетов
не содержит делителей нуля.
Доказательство.
Кольцо
классов вычетов
не имеет делителей 0 в том и только в том
случае, если из
,
где
,
следует, что
,
либо
,
либо оба, но тогда: либо
,
либо
,
либо оба, что равносильно по определению
тому, что идеал
— простой. Теорема доказана.
13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры Поле классов вычетов
Теорема.
(Следствие из предыдущей.) Кольцо классов
вычетов кольца целых чисел
по модулю
является полем тогда и только тогда,
когда
— простое число.
Примеры.
-
. Если
, то
. Если
, то
, так как
. Все ненулевые элементы имеют противоположные, делителей нуля нет, то есть
— поле.
-
:
— есть делители 0, так как 4 — не простое.
, то есть
— не поле.
Минимальное поле — поле, не имеющее подполей, отличных от него самого.
Примеры.
-
Поле рациональных чисел
— минимально.
-
Поля классов вычетов кольца целых чисел по простым модулям:
— минимальные.
14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры Евклидово кольцо
Евклидово
кольцо
— кольцо
без делителей 0, в котором каждому
ненулевому элементу
сопоставляется целое неотрицательное
число
,
называемое нормой элемента
,
со следующими свойствами:
-
.
-
, причём либо
, либо
, либо оба (возможность деления с остатком).
Примеры.
-
Кольцо
— евклидово кольцо с нормой
. Действительно,
не имеет делителей нуля, а введённая норма удовлетворяет условиям 1 и 2 определения:
1)
,
если
— целое, 2) деление с остатком введено.
-
Кольцо
целых гауссовых чисел
— евклидово кольцо с нормой
. Действительно:
-
, если
, то
и
-
Можно ввести деление с остатком. Например:
|
|
|
|
|
|
То есть
.
Остаток:
.
-
Кольцо многочленов от одной переменной
с коэффициентами в поле
— евклидово кольцо с нормой
равной степени многочлена
. Действительно:
-
Пусть
,
, тогда
-
Алгоритм деления многочлена на многочлен известен.
Пусть
— любое кольцо без делителей 0. Говорят,
что
делит
(то есть
делится на
без остатка), если
такой, что
.
Запись:
.
Ясно,
что
,
то есть если элемент кратен
,
то он кратен и
.
Простой
необратимый элемент
евклидового кольца — необратимый
элемент евклидового кольца, который
допускает лишь тривиальное разложение,
то есть из равенства
следует, что или
,
или
обратимы. Например, в случае:
— тривиальные делители числа
:
и
.
Любое
число
,
у которого существует нетривиальное
разложение на множители, называется
составным.
Пример.
В кольце
простые элементы:
…
Причём сомножитель этих чисел:
— обратим. Составные:
…
(
)