10. Сравнения. Классы вычетов по модулю (по идеалу ). Свойства. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера. Теорема Эйлера (теория чисел) Сравнения

Пусть — главный идеал коммутативного кольца .

Два элемента и кольца называются сравнимыми по модулю (по идеалу ), если их разность принадлежит идеалу :

Обозначение сравнения по модулю: или .

Пусть — кольцо (целых чисел). Тогда , если при делении на получаются одинаковые остатки. Действительно, пусть , тогда: .

Примеры.

1. (так как ).

2. (так как ).

Класс вычетов по модулю (по идеалу ) — множество элементов кольца, сравнимых с по модулю . Можно обозначить так: . Элемент — представитель класса вычетов .

Пример. , то есть идеал :

Лемма. Два класса вычетов и или не пересекаются, или совпадают. Иначе говоря, классы вычетов по модулю образуют разбиение кольца .

Отношение сравнимости по модулю обладает следующими свойствами:

• Свойство рефлексивности: .

• Свойство симметричности: если , то .

• Свойство транзитивности: если и , то

Действительно, бинарное отношение сравнимости по модулю есть отношение эквивалентности, а классы вычетов — это как раз классы эквивалентности (или классы смежности).

Полная система вычетов по модулю — совокупность целых чисел, содержащая точно по одному представителю из каждого класса вычетов по модулю .

Пример. В предыдущем примере: , то есть идеал . Имеем лишь три класса вычетов: (обозначения ) — которые образуют полную систему вычетов по модулю 3. Ясно, что любой элемент из принадлежит лишь одному из этих классов.

Свойства сравнений

Пусть , то есть ; .

Тогда:

1. . (Сравнения можно складывать или вычитать.)

Действительно: пусть .

Тогда

То есть .

2. . (Сравнения можно перемножать.)

, так как:

3. . (К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число .)

.

4. . (Следствие 2.).

5. .

Действительно, , поэтому и из предыдущего:

6. Если , то .

Действительно, , следовательно , где , то есть , то есть .

7. Если , то . (Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель.)

Действительно, если , то , значит .

Замечание. Из не следует, что .

Сумма классов вычетов и есть класс вычетов .

Произведение классов вычетов и есть класс вычетов .

Теорема. Сумма (и разность) и произведение классов вычетов не зависят от выбора представителей классов.

Доказательство. Пусть . Тогда, используя свойства сравнений №1 и №2, получим: . Следовательно, и .

Примеры.

1. . Но .

2. 

3. Найти остаток при делении на .

, то есть остаток равен 0.

4. Найти две последние цифры числа . Для этого достаточно найти остаток при делении на ; для этого выясним остаток при делении на и на :

, то есть последние две цифры могут быть .

, значит последние две цифры могут быть только 52.

5. Доказать, что .

Надо дать 4 сравнения по модулю .

Итак , тогда по свойству №6 , где (так как числа простые), то есть .

Замечание. Приведём без доказательства ещё два полезных свойства сравнений, которые выражены следующей теоремой:

Малая теорема Ферма:

1. Если число не делится на простое число , то справедливо:

2. Если число и — простое число, то справедливо (здесь отсутствует требование, чтобы делилось на ):

Примеры.

1. , так как 31 — простое число.

2. , так как 541 — простое число.

Замечание. При решении задач на сравнение также удобно пользоваться функцией Эйлера.

Функция Эйлера — функция, равная количеству натуральных чисел, меньших аргумента и взаимно простых с ним. При этом полагают по определению, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами, и .

Пример. Для числа существует меньших его и взаимно простых с ним чисел , поэтому .

Первые 99 значений функции Эйлера:

Таблица 6

	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Теорема. Если натуральное число имеет разложение на простые множители , то функция Эйлера равна:

Пример. Вычислим функцию Эйлера .

Мультипликативная функция — функция , в которой для любых взаимно-простых справедливо: .

Очевидно, что функция Эйлера — мультипликативная.

Теорема Эйлера. Для любого модуля и любого числа , взаимнопростого с числом , имеет место формула Эйлера: .

Пример. Найти остаток от деления числа на . Заметим, что числа 174 и 13 взаимно просты. Сначала вычислим значение функции Эйлера от делителя:

Затем разделим показатель степени 249 на с остатком: .

Тогда .

По теореме Эйлера , тогда , откуда , и таким образом , получаем и так как , то с учётом , получим . , то есть . Окончательно получаем: , то есть остаток при делении равен 5.

Теорема. Пусть — главный идеал кольца . Тогда множество классов вычетов по модулю образуют коммутативное кольцо с 1 с операциями сложения и умножения:

Действительно, все аксиомы кольца очевидны при таких введённых операциях сложения и умножения. Нулевой элемент — это (), единичный элемент — это (), для любого элемента можно образовать противоположный такой, что .

Ранее было доказано, что сумма и произведение классов вычетов не зависят от выбора представителей классов, поэтому кольцо коммутативно:

Таким образом, кольцо — кольцо классов вычетов по модулю (по идеалу ). Кольцо обозначается так: …

Пример. Кольцо.

Пример.

(или ) — кольцо классов вычетов по модулю 3.

.

.

.

Противоположный это . Действительно, .