Гомоморфизм. Изоморфизм. Теорема Кэли

Пусть задано отображение группы (с операцией ) в группу (с операцией ): . Оно называется гомоморфизмом, если оно одну групповую операцию переводит в другую групповую операцию, то есть если , , , , то .

Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм. Две группы и изоморфны, если существуют гомоморфизм групп и гомоморфизм групп , такие что и , где . Запись: или .

Свойства изоморфизма ():

1. Единица переходит в единицу.

Имеем: .

Тогда: .

Аналогично устанавливаем, что .

Следовательно, — единица в , а так как в группе единица единственна, то .

2. Обратный элемент переходит в обратный элемент.

Имеем: .

Тогда: .

Аналогично доказывается, что .

Следовательно, является обратным для элемента .

Но в группе для элемента обратный элемент единственный.

Следовательно, .

3. Обратное отображение тоже является изоморфизмом.

Имеем: .

Так как , то .

Так как , то .

Следовательно, является изоморфизмом группы на группу .

4. Композиция изоморфизмов — изоморфизм.

Пусть , тогда .

Примеры:

1. Отображение мультипликативной группы положительных действительных чисел на аддитивную группу всех действительных чисел , при котором всякому ставится в соответствие десятичный логарифм этого числа , обладает свойством , то есть является изоморфизмом.

2. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел .

3. Всякая циклическая группа порядка изоморфна мультипликативной группе корней -й степени из единицы.

Теорема. Все циклические группы одного порядка изоморфны.

Теорема (Кэли). Всякая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы , то есть группе подстановок.

Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (семейство симметрических групп) — вместилище всех вообще конечных групп. То есть, согласно ей, изучение конечных групп может быть сведено к изучению групп подстановок.

8. Кольцо. Свойства. Коммутативное кольцо. Делители 0. Область целостности. Примеры. Подкольцо. Единица кольца. Поле. Примеры Кольцо

Кольцо — множество с двумя бинарными операциями: сложение «» и умножение «», которые обладают следующими свойствами:

1. Замкнутость:

2. Ассоциативность сложения и умножения:

3. Коммутативность сложения:

4. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

5. Существует элемент такой, что . Он называется нейтральным элементом для сложения.

6. Существует для любого противоположный элемент для сложения такой, что .

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором умножение коммутативно, то есть .

Подкольцо — подмножество кольца , если оно само является кольцом относительно ограничения операций и на подмножество . Для этого достаточно, чтобы удовлетворяло всем аксиомам кольца и результаты сложения и умножения принадлежали .

Кольцо с 1 (единицей) — кольцо , в котором относительно операции умножения существует нейтральный элемент «»: .

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей (то есть требуют, чтобы подструктура была моноидом), но изучаются также и кольца без единицы, например, кольцо чётных чисел () является коммутативным кольцом без единицы.

Замечание. Кольцо относительно сложения образует коммутативную группу, которая называется аддитивной абелевой группой кольца.

Замечание. Множество всех обратимых элементов кольца с 1 относительно умножения образует группу, которая называется мультипликативной группой кольца.

Делители нуля — элементы , принадлежащие кольцу , для которых или .

Область целостности — коммутативное кольцо без делителей .

Некоторые математики требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент (единицу). Поэтому далее в примерах «область целостности» будет обозначаться подробнее: с единицей ли она или без.

Обратная операция для сложения называется вычитанием, а её результат называется разностью (вычитание основано на аксиомах кольца — благодаря наличию обратных элементов по сложению):

Правила знаков (выводятся из аксиом кольца):

Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания (также выводится из аксиом кольца):

Замечание. Если один из сомножителей равен 0, то произведение равно 0. Действительно, . Обратное утверждение (справедливое для чисел) неверно, то есть из того, что произведение равно 0 не следует, что один из сомножителей равен 0. (Например, в случае с матрицами.)

Замечание. Можно доказать следующие свойства:

Примеры.

1. Множество — область целостности без 1, а — область целостности с 1.

2. Множества (целые числа), (рациональные числа), (вещественные числа), (комплексные числа) — области целостности с 1 (коммутативны и не имеют делителей нуля). Причём — подкольцо , — подкольцо , — подкольцо .

3. Множество чётных чисел — область целостности без 1.

4. Множество чисел, кратных : — область целостности. (В этом кольце есть единица только при .) Причём — подкольцо кольца .

5. Множество нечётных чисел — не кольцо, так как нет замкнутости и нет .

6. Множество квадратных матриц порядка с элементами из некоторого коммутативного кольца — просто кольцо с 1 (здесь уже некоммутативное умножение на уровне матриц и есть делители нуля). При получаем кольцо квадратных матриц порядка над .

7. Множество многочленов с коэффициентами из некоторого коммутативного кольца — область целостности с 1. При получаем область целостности с 1 многочленов с целыми коэффициентами: .

8. Множество целых комплексных (гауссовых) чисел — область целостности с 1.

9. Множество вещественных чисел специального вида — область целостности с 1.

10. Множество (множество пар целых чисел ) — коммутативное кольцо с 1, но с делителями нуля (), если определены:

• Сложение: .

• Умножение: .

11. В кольце элемент — делитель 0: . То есть — коммутативное кольцо с 1, но с делителем нуля.

12. Кольцо — область целостности с 1 тогда и только тогда, когда — простое число. В частности, .

Поле

Поле — коммутативное кольцо с , в котором для каждого элемента найдётся такой единственный обратный элемент , что

Подполе — подмножество поля , если оно само является полем относительно ограничения операций и на подмножество . Для этого достаточно, чтобы удовлетворяло всем аксиомам поля и результаты сложения и умножения принадлежали .

Поле без коммутативности умножения называется телом.

Замечание. Так как кольцо относительно сложения образует абелевую группу, то поле также образует группу, которая называется аддитивной абелевой группой поля.

Замечание. Относительно умножения все ненулевые элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля. Так как в поле умножение коммутативно, то эта группа поля также коммутативна.

Замечание. Очевидно, что уравнения и не имеют единственное решение, так как и при уравнения корней не имеют, а при имеют множество корней ( — любое). Если же , то .

Замечание. В поле нет делителей 0. Действительно, пусть . В поле существует , тогда , то есть противоречие, значит — не делители 0.

Деление — обратная операция для умножения. Её результат — частное.

Обозначается: .

В любом поле:

• .

• .

• .

• .

Можно также положить и , то есть определить степени для любого в поле.

Примеры.

1. Множество — коммутативное кольцо без делителей нуля, но не поле, так как отсутствует 1.

2. Множество — поле.

3. Множество не поле, так как нет обратных элементов (кроме ).

4. — поля. Причём — подполе поля , а — подполе поля

5. Множество матриц порядка — не поле, во-первых, некоммутативно умножение, во-вторых, не для всех элементов есть обратные (обратная матрица есть только для невырожденных (у которых определитель ) матриц).

6. Пары чисел — не поле (существуют делители 0).

7. Множество комплексных (гауссовых) чисел с — поле. Если же и — целые, то не поле (нет обратных элементов).

8. Множество вещественных чисел вида , где — поле.

9. Множество из двух элементов и — , если ввести операции сложения , и умножения , — есть поле.

10. Кольцо — поле тогда и только тогда, когда — простое число. В частности, — поле.