11.6 Коефіцієнт детермінації

Окрім перевірки статистичної значущості оцінок параметрів парної лінійної регресії важливо також визначити якість моделі вцілому. Однієї з найбільш ефективних оцінок адекватності регресійної моделі, мірою якості рівняння регресії, характеристикою її прогностичної сили є коефіцієнт детермінації. Цей коефіцієнт показує частину дисперсії пояснену рівнянням регресії [3]:

. (11.27)

Іншою формою представлення формули (11.27) може бути наступна:

. (11.28)

У разі парної лінійної регресійної моделі коефіцієнт детермінації рівний квадрату коефіцієнта кореляції.

. (11.29)

Чим ближче до одиниці, тим краще регресія апроксимує емпіричні дані, тим тісніше точки спостереження примикають до лінії регресії. Якщо, то емпіричні точки, що характеризують незалежну та залежну змінну лежать на лінії регресії і між змінними існує лінійна функціональна залежність. Якщо , то варіація залежної змінної повністю обумовлена дією неврахованих в моделі змінних, і лінія регресії паралельна осі абсцис. Зазначимо, що коефіцієнтмає сенс розглядати тільки за наявності параметрав рівнянні регресії.

Якщо коефіцієнт детермінації відомий, то критерій його статистичної значущості (F-критерій Фішера) для парної лінійної регресії може бути записаний у вигляді:

; (11.30)

Для заданого рівня значущості ступенів свободитазнаходиться табличне значення критерію Фішера (в деяких джерелах він називається критерієм Фішера-Снедекора). Причому,, де– кількість змінних у моделі (для парної регресії),. На сучасному етапі розвитку економетрії та інших наук повязаних із математичною статистикою критичне значення критерію Фішера можна визначити за допомогою статистичних функційF.ОБР та F.ОБР.ПХ Microsoft Excel 2010. При використанні цієї функції F.ОБР.ПХ в рядку «Вірогідність» діалогового вікна потрібно зазначати не вірогідність а рівень значущостіТака невідповідність довідки за функцією, скоріше за все, повязана із неточністю переклада інтерфейсу статистичних функції із англійської мови на російську. В більш старих версіяхMicrosoft Excel використовується функція FРАСПОБР, в рядку «Вірогідність» діалогового вікна якої необхідно вказувати не вірогідність а рівень значущості

В MathCAD критичне значення F-критерія Фішера можна отримати за допомогою оператора

Якщо , то для вірогідностікоефіцієнт детермінації статистично значущий.

Після побудови та дослідження якості моделі парної лінійної регресії можна перейти до прогрнозування розвитку економічного явища чи процеса, який описує ця модель.

11.7 Прогнозування по лінійному рівнянню регресії

У прогнозних розрахунках по рівнянню регресії визначається прогнозне значення залежної змінної, при деякому прогнозному значенні незалежної змінної . Прогноз поділяють наточковий (коли оцінкою прогнозної величини є число) та интервальний (коли оцінкою є інтервал).

Точковою оцінкою залежної змінної вважають її умовне математичне очикування , яке ототожнюють[1] із груповою середньою ,котру знаходять за рівнянням регресії:

(11.31)

Дисперсію групової середньої оцінюють за формулою:

. (11.32)

Тоді стандартна помилка групової середньої:

. (11.32)

Тоді р%-й довірчий інтервал для умовного математичного очікування становить:

(11.33)

Побудована довірча область для умовного математичного очікування, але не окремих можливих прогнозних значень залежної змінної, котрі відхиляються від середньої. Тому при визначенні довірчого інтервалу для індивідуальних значеньзалежної змінної необхідно враховувати іще одне джерело дисперсії – розсіювання навколо лінії регресії. Це реалізується шляхом включення в оцінку дисперсіївеличини. В результаті оцінка дисперсії індивідуальних значеньдорівнює:

. (11.34)

Тоді стандартна помилка індивідуальних значень складає:

. (11.35)

р%-й довірчий інтервал для прогнозів індивідуальних значень буде становити:

. (11.36)

Чим далі відхиляється від середнього за вибіркою значення незалежної змінної тим менш точним буде прогноз та ширшими довірчі інтервали для умовного математичного очикування та індивідуальних значень .Тому екстраполяція регресії, тобто її використання поза межами дослідженого діапазону значень незалежної змінної може призвести до значної погрішності. Навіть у тому випадку, якщо така екстраполяція виправдана для розглянутої змінної, виходячи із економічного сенсу задачі, що вирішується.

При прогнозуванні розитку економічних явищ чи процесів на основі економитричних моделей взагалі та парних лінійних рагнесійних моделей зокрема потрібно памятати про скаладність та імовірнісний характер цих явищь та процесів. Тому отримані прогнози не можна подавати як «істину останньої інстанції», а лише як важливий допоміжний матеріал при прийнятті управлінського рішення, повязаного із прогнозом розвитку економічного явища чи процесу.

На економічні та соціально-економічні явища та процеси сукупно та одночасно діє значна кількість факотрів різної природи, а модель парної регресії враховує лише один, найбільш важливий на думку досліднока фактор. Більш ефективним інструментом опису вказаних вище явищь та процесів можуть служити множинні регресійні моделі, що одночасно враховують декілька факторів.