EMM_dlya_EKZ-31_51 / Лекции_ЭММ / Тема_3

Друкувати лише у випадку крайньої необхідності. Щоб забезпечити річне споживання офісного паперу необхідно знищити 768 000 000 дерев віком від 50 до 200 років.

ТЕМА 3. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ, ПОНЯТТЯ ТА ТЕОРЕТИЧНІ

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

3.1.Теоретичні основи математичного програмування

Величина f називається функцією змінних х₁, х₂., х_k, якщо кожному з тих значень, які можуть приймати х₁, х₂., х_k відповідає одне або декілька значень f. При цьому змінні величини х₁, х₂., х_k називаються аргументами.

Область визначення функції – сукупність всіх значень які можуть приймати змінні в умовах даної задачі.

Змінна величина I називається функціоналом, залежним від функцій f(x) з вибраного класу функцій, тобто I[f(x)], якщо для кожної функції f(x), даного класу визначено число I.

Деякі приклади функціоналів:

• значення функції у фіксованій точці;

• максимум або мінімум функції на відрізку;

• величина інтеграла від функції;

• довжина графіка речовинної функції речовинної змінної;

• довжина кривої, параметрично заданою векторною функцією речовинного аргументу (довжина шляху);

• площа поверхні, параметрично заданою векторною функцією двох речовинних аргументів.

Функціонал називається лінійним, якщо для будь-яких чисел і будь-яких функцій з даного класу виконується умова:

.

Екстремальні точки функції – точки максимуму і мінімуму.

Говорять, що функція має максимум в точці, якщо в достатній близькості від цієї точки всім значенням, як більшим, так і меншим відповідають значення , менші, ніж .

Функція має мінімум в точці, якщо в достатній близькості від цієї точки всім значенням відповідають значення , більші, ніж .

Необхідна умова максимуму і мінімуму: якщо функція має екстремум (максимум або мінімум) в точці, то в цій точці похідна, або рівна нулю, або нескінченна, або не існує.

Достатня умова максимуму і мінімуму: якщо в достатній близькості від точки похідна позитивна ліворуч від і негативна праворуч від , то в самій точці функція має максимум за умови, що функція тут безперервна (рис. 3.1 а).

Якщо, навпаки, ліворуч від похідна негативна, а праворуч – позитивна, то має в точці мінімум за умови, що він тут безперервна (рис. 3.1 б).

Якщо зберігає знак, то немає не максимуму не мінімуму; при функція в точці зростає (рис. 3.1 в), при – убавляється.

Рисунок 3.1 – Графіки функцій, що мають точки максимума (а); мінімума (б); зростаюча функція (в)

1.2. Основні визначення і поняття математичного програмування

Математичне програмування (МП) – розділ прикладної математики що займається розробкою теорії і практичних методів рішення задач знаходження екстремуму функцій на безлічі кінечномірного| векторного простору , що визначається лінійними і нелінійними обмеженнями (рівняннями і (або) нерівностями).

Слово «програмування» в даному випадку потрібно розуміти як «планування», оскільки в англійській мові слово «programming» означає планування, складання планів або програм. Крім того слово «програмування» пояснюється ще тим, що сукупність змінних, що підлягають знаходженню, звичайно визначає програму (план) роботи деякого економічного об'єкту (виробничу програму, програму перевезень і т.д.). В даному випадку програма розуміється як допустима послідовність подій.

Задачі МП також називають оптимізаційними задачами.

Під оптимізацією розуміють процес знаходження екстремуму функції і, таким чином, вибір якнайкращого варіанту із безлічі допустимих або процес приведення системи в якнайкращий стан із безлічі можливих.

Оптимальне планування – комплекс методів, що дозволяють вибрати із багатьох можливих (альтернативних) варіантів плану або програми один оптимальний варіант, тобто найкращий з погляду заданого критерію оптимальності і певних обмежень.

Оптимальне програмування – застосування в економіці методів МП.

Оптимальне управління – основне поняття математичної теорії оптимальних процесів (математики, що належить розділу, під тією ж назвою: оптимальне управління); означає вибір параметрів, якими управляють, що забезпечували б якнайкраще, з погляду заданого критерію, протікання процесу, або, інакше, якнайкраща поведінка системи, її розвиток до цілі по оптимальній траєкторії.

Критерій оптимальності – показник, що виражає міру економічного ефекту ухвалюваного господарського рішення для порівняльної оцінки можливих рішень (альтернатив) і вибору якнайкращого із них (наприклад, максимум прибутку, мінімум трудових витрат, найкоротший час досягнення мети і т. д.)

Об'єктивно обумовлені (оптимальні) оцінки– одне з основних понять МП. Це оцінки продуктів, ресурсів, робіт, витікаючі з умов вирішуваної оптимізаційної задачі.

Стійкість рішення – умова при якій малі зміни яких-небудь характеристик, наприклад, початкових умов, обмежень або цільової функції, не призводять до зміни результатів рішення.

Ітеративні (ітераційні) методи рішення задач – полягають в тому, що обчислювальний процес починають з деякого пробного (довільного) допустимого рішення, а потім застосовують алгоритм, що забезпечує послідовне покращання цього рішення.

Ітерація – повторне, циклічне застосування математичної операції (із зміненими даними) при рішенні обчислювальних задач для поступового наближення до потрібного результату. Ітеративні розрахунки на ЕОМ характерні для вирішення економічних (особливо оптимізаційних і балансових) задач. Кількість необхідних циклічних перерахунків (ітерацій) визначає сходимість алгоритму.

Керовані змінні (КЗ) – зміні шляхом підбору яких знаходиться екстремальне значення цільової функції.

Наявність керованих змінних – головне, що відрізняє моделі нормативного типа, від описових, дескриптивних моделей (див тему 1).

Оптимізаційна модель складається з цільової функції і обмежень.

Цільова функція (ЦФ) – це функція, для якої із множини допустимих необхідно знайти такі значення КЗ, що б значення цієї функції було максимальне або мінімальне.

Обмеження – система рівнянь і (або) нерівностей, що визначають область допустимих значень керованих змінних.

У загальному вигляді задача математичного програмування може формулюватися так:

знайти: , (3.1)

або так:

(3.2)

Згідно із формулюванням (3.2) задача МП містить лише обмеження які є рівняннями. Однак за визначенням обмеженями можуть бути і нерівності. Це пояснюється простою можливістю перетворення нерівності у рівняння, що також іноді називають приведенням обмежень до канонічної форми. Припустимо одне із обмежень задається нерівністю:

, (3.3)

Його можна перетворити у рівняння ввівши до нього додаткову змінну , яка буде компенсувати різницю , таким чином нерівність (3.3) перетвореться у рівняння:

, (3.4)

Причому рівнняння (3.4) можна переписати у вигляді:

, (3.4*)

та дорівнявши . Таким чином переходимо до форми запису обмежень, яка представлена у (3.2).

У випадку, якщо

, (3.5)

то, змінна буде входити до рівняння зі знаком «+».

Економічний сенс змінної у випадку (3.5) буде буде являти собою, наприклад, залишок ресурсів, сировини або фонду робочого часу обладнання, які будуть обмежувати випуск продукції підприємством.

Розглянемо приклад. Фабрика виробляє три вида продукції 1, 2, 3, кожна із яких оброюляється на одному і тому ж обладнанні. Причому для виготовлення одиниці продукції 1 потрібно 17 хвилин роботи обладнання, продукції 2 – 15 хвилин, продукції 3 – 21 хвилина. Обладнання можна використовувати не більше ніж 14 годин на добу. Позначимо через х₁, х₂, х₃ об’єм випуску продукції 1, 2, 3. Тоді обмеження на випуск пробукції у цьому випадку можна записати у вигляді:

, (3.6)

Ввівши до нерівності (3.6) змінну економічний сенс котрої буде – невикористаний фонд часу обладнання, можна перейти до рівняння:

, (3.6)

1.3. Основні види математичного програмування

Залежно від природи множини задачі МП можуть класифікуватися як:

1. Задачі лінійного програмування (якщо цільова функція і обмеження є лінійними);

2. Задачі нелінійного програмування (якщо цільова функція і (або) хоч би одне обмеження нелінійне);

3. Задачі динамічного програмування (тобто рішення багатокрокових задач, які або мають багатоступінчасту структуру процесу, або розбиваються на низку послідовних етапів (кроків), відповідних, як правило, різним моментам часу. Назва вказує на суттєву роль часу у процесах і методах.

4. Задачі стохастичного програмування (враховують невизначеність в оптимізаційних моделях);

5. Задачі параметричного програмування (коли коефіцієнти їх цільової функції, або числові характеристики обмежень, або і ті та інші, припускаються не постійними величинами, а функціями, залежними від деяких параметрів. Причому найчастіше ця залежність носить лінійний характер);

Так само інколи виділяють Задачі цілочисельного програмування – якщо є підмножиною множини цілих чисел.

Список використаної літератури

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1965. – 872 с.

2. Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. – 140с.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2004. – 283 с.

© Скворчевський О.Є., 2009