57

1.3. Равносильность формул

Формулы U=U(X,Y,…,Z) и V=V(X,Y,…,Z) называются равносильными, если они принимают одинаковые значения для любой оценки переменных X,Y,…,Z.

Если для формул U и V построены таблицы истинности, то равносильность означает, что итоговые столбцы в этих таблицах совпадают. Равносильность формул U и V будем обозначать через U V. Легко заметить, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно и, значит, является отношением эквивалентности. Каждый класс эквивалентности состоит из равносильных между собой формул.

Теорема (основные равносильности). Имеют место следующие равносильности.

Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции:

X Y Y X; X Y Y X.

Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции: (X Y) Z X (Y Z); (X Y) Z X (Y Z).

Идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции:

X X X; X X X.

Дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции друг относительно друга:

X (Y Z) (X Y) (X Z); X (Y Z) (X Y) (X Z).

Законы поглощения:

(X Y) (X¬Y) X; (X Y) (X¬Y) X.

Устранение импликации:

X→Y¬X Y.

Любая из перечисленных равносильностей легко может быть доказана с помощью таблиц истинности. Используя основные равносильности, удобно записывать последовательность равносильных преобразований формулы в виде цепочки. Например:

X→(Y→Z) X→(¬Y Z) ¬X (¬Y Z) (¬X¬Y) Z(¬Y¬X) Z ¬Y (¬X Z) Y→(¬X Z) Y→(X→Z).

При записи равносильных преобразований удобно использовать и некоторые другие равносильности. Например, покажем, что

X (¬YY) X.

Последовательно применяя законы дистрибутивности и расщепления, получаем:

59

X (¬YY) (X¬Y)(X Y) X.

Аналогично

X(¬Y Y) X.

Сформулируем еще несколько правил, которые позволяют получать равносильные формулы без непосредственной проверки по таблицам истинности.

Если в равносильных формулах пропозициональные переменные заменить формулами (одинаковые переменные одинаковыми формулами) получатся равносильные формулы.

Если формулы U и V равносильны, U V, а W – произвольная формула, то имеют место следующие равносильности:

¬U¬V; U W V W; U W V W;

U→W V→W; W→U W→V.

Используя устранение импликации, любую формулу можно с помощью равносильных преобразований привести к булевой формуле.

1.4. Принцип двойственности

Пусть U=U(X,Y,…,Z) – формула алгебры высказываний. Формула

U* = ¬U(¬X,¬Y,…,¬Z)

называется двойственной к формуле U.

Из закона двойного отрицания следует, что (U*)* U. Между таблицами истинности исходной формулы и двойственной к

60

ней имеется простая связь. Предположим для определенности, что формула U содержит две переменных, U=U(X,Y), и рассмотрим следующую таблицу истинности:

X Y U U*

------------------------

Несложно заметить, что столбец значений формулы U* представляет собой перевернутый столбец значений формулы U, снабженных отрицанием. То же справедливо и для формул, содержащих большее число пропозициональных переменных. Из этого замечания вытекает следующее утверждение.

Закон двойственности. Формулы алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда равносильны двойственные им формулы: U V тогда и только тогда, когда

U* V*.

Для булевых формул закон двойственности приобретает особенно наглядную форму.

Теорема. Если формула U булева, то двойственная формула

U* равносильна формуле U , полученной из U заменой всех конъюнкций на дизъюнкции, а дизъюнкций на конъюнкции.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по длине формулы. Предположим сначала, что формула U состоит всего

61

из одного символа. Это означает, что формула имеет вид U=X, где X – некоторая пропозициональная переменная. Ясно, что для такой формулы U* U и U =U, так что утверждение теоремы справедливо. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для всех формул длины меньше n и покажем, что оно справедливо и для произвольной формулы U=U(X,…,Y) длины n. В соответствии с определением формула U имеет вид

а) U=¬V; б) U=V W или в) U=V W,

где V и W – некоторые формулы. Ясно, что в любом случае формула U содержит по крайней мере на один знак больше, чем формулы V и W. Значит, длина V меньше n, и длина W меньше n. Поэтому к формулам V и W применимо заключение теоремы, то есть

V* V и W* W .

С учетом этого рассмотрим каждый из трех возможных случаев.

а) U* = ¬(¬V(¬X,…,¬Y)) = ¬V*, U = ¬V , откуда U* U .

б) U* = ¬(V(¬X,…,¬Y) W(¬X,…,¬Y)), откуда по первой формуле де Моргана U* ¬V(¬X,…,¬Y) ¬W(¬X,…,¬Y)) V* W*. С другой стороны, U = V W , и, значит, U* U .

в) U* = ¬(V(¬X,…,¬Y) W(¬X,…,¬Y)), откуда по второй формуле де Моргана U* ¬V(¬X,…,¬Y) ¬W(¬X,…,¬Y)) V* W*. С другой стороны, U = V W , и, значит, U* U .