97

утверждений, показывающая принадлежность утверждения X классу теорем, называется доказательством (или выводом). Получающиеся в результате таких построений теории называют формальными теориями или исчислениями.

При формализации понятия алгоритмической вычислимости объектами считаются функции, описываемые на языке какойнибудь математической теории (например, арифметики). Роль примитивов играют функции, вычислимость которых не вызывает сомнений. Правилами построения служат некоторые точно описанные алгоритмические конструкции.

Далее в этой лекции мы рассмотрим исчисление высказываний, исчисление предикатов и теории первого порядка (в частности формальную арифметику). В следующей лекции будет рассмотрена формализация понятий алгоритма и эффективной вычислимости.

3.2. Исчисление высказываний

Язык исчисления высказываний тот же, что и язык логики высказываний. Напомним, что алфавит состоит из символов пропозициональных переменных X, Y, …, знаков логических операций ¬, , , → и скобок (, ). Формулы определяются рекурсивно:

любая пропозициональная переменная есть формула;

если U и V – формулы, то (¬U), (U V), (U V), (U→V) формулы.

98

Произвольное слово (последовательность символов алфавита) W является формулой тогда и только тогда, когда имеется конечная цепочка слов

U1, U2, …, Un

такая, что Un=W, и каждое слово в цепочке является пропозициональной переменной или получено из некоторых предшествующих ему слов с помощью логических операций. Так же как и ранее, мы принимаем соглашения о сокращенной записи формул (отбрасывание внешних скобок и т.п.).

Следующие формулы считаются аксиомами: (A1) X→(Y→X);

(A2) (X→(Y→Z))→((X→Y)→(X→Z)); (A3) (X Y)→X;

(A4) (X Y)→Y;

(A5) (X→Y)→((X→Z)→(X→(Y Z)));

(A6) X→(X Y);

(A7) Y→(X Y);

(A8) (X→Z)→((Y→Z)→((X Y)→Z)); (A9) (X→Y)→(¬Y→¬X);

(A10) ¬¬X→X;

(A11) X→¬¬X.

Если формула U содержит в своей записи пропозициональную переменную X, а V – произвольная формула, условимся обозначать через U(X/V) формулу,

99

полученную из U заменой всех вхождений переменной X формулой V. Если формула U переменной X не содержит, будем считать, что U(X/V) совпадает с U.

Укажем теперь правила вывода (правила построения выводимых формул). Формулы, которые являются исходными для построения, будем записывать слева от знака "|−", а формулу, которая строится, – справа:

(S) U |− U(X/V) для любых формул U, V и пропозициональной переменной X;

(MP) U, U→V |− V для любых формул U и V.

Правило (S) называется правилом подстановки; правило

(MP) – правилом заключения (Modus Ponens).

Будем говорить, что формула U(X/V) непосредственно выводима из формулы U, а формула V непосредственно выводима из формул U и U→V. Выводом формулы W из формул U1, U2,…, Uk, называется последовательность формул

V1, V2,…, Vn,

такая, что Vn=W, а любая формула Vi, i=1,2,…,n есть либо аксиома, либо одна из формул U1, U2,…, Uk, либо непосредственно выводима из некоторых предшествующих ей

формул V1, V2,…, Vi−1.

Если существует вывод формулы W из формул U1, U2,…, Uk, то говорят, что формула W выводима из формул U1, U2,…, Uk и пишут

100

U1, U2,…, Uk |− W.

В этой ситуации формулы U1, U2,…, Uk называют гипотезами или посылками. Формула, выводимая из аксиом, называется доказуемой или выводимой. Выводимая формула выводима не только из аксиом, но и из пустого множества формул (данное выше определение вывода позволяет включить в цепочку вывода все аксиомы). В соответствии с этим, если формула W выводима, пишут |− W.

Приведем два примера.

Теорема. Формула (X Y)→(Y X) выводима.

Доказательство. Приведем вывод:

(1)(X→Y)→((X→Z)→(X→(Y Z)));

(2)((X Y)→Y)→(((X Y)→Z)→((X Y)→(Y Z)));

(3)((X Y)→Y)→(((X Y)→X)→((X Y)→(Y X)));

(4)(X Y)→Y;

(5)((X Y)→X)→((X Y)→(Y X));

(6)(X Y)→X

(7)(X Y)→(Y X).

Комментарии: (1) – аксиома; (2) непосредственно выводится из (1) подстановкой X Y вместо X; (3) непосредственно выводится из (2) подстановкой X Y вместо Z; (4) – аксиома; (5) непосредственно выводится из (3) и (4) по правилу заключения;

(6) – аксиома; (7) непосредственно выводится из (5) и (6) по правилу заключения.

101

Теорема. Формула V→W выводима, какова бы ни была выводимая формула W.

Доказательство. Пусть W1, W2,…, Wn=W– вывод формулы W. Формула W→(Y→W) непосредственно выводится из аксиомы (A1) подстановкой W вместо X; формула Y→W

непосредственно выводится из W и W→(Y→W) по правилу заключения. Таким образом, последовательность формул

W1, W2,…, Wn, (A1), W→(Y→W), Y→W

является выводом формулы Y→W.

Из этих примеров видно, что доказательства даже относительно несложных формул оказываются довольно громоздкими. Следующая теорема позволяет устанавливать выводимость формул гораздо более простым способом, чем непосредственное построение вывода.

Теорема о дедукции. Пусть Г – некоторое конечное множество формул (гипотез), U и V – произвольные формулы, такие, что V выводима из совокупности формул Г и U. Тогда формула U→V выводима из формул Г.

Коротко утверждение теоремы о дедукции записывают в следующей форме:

Г, U |− V

-------------

Г |− U→V

102

Эту запись следует понимать так: если верно то, что записано над чертой, то верно и записанное под чертой. В такой форме записывают и другие подобные утверждения, которые называют производными правилами вывода.

В качестве примера применения теоремы дедукции установим справедливость следующего правила.

Теорема (правило силлогизма):

|− U→V, |− V→W

-----------------------

|− U→W

Доказательство. Формулу W можно вывести из формул

U→V, V→W, U, применив дважды правило заключения. Тогда,

по теореме дедукции, формула U→W выводима из формул

U→V, V→W.

Легко проверить (например, по таблицам истинности), что все аксиомы исчисления высказываний являются тождественно истинными формулами. Очевидно, что формулы, непосредственно выводимые из тождественно истинных формул, также тождественно истинны. Таким образом, все выводимые формулы тождественно истинны. Оказывается, что верно и обратное.

Следующая теорема дает для исчисления высказываний положительное решение так называемой проблемы полноты.