Лекции по дискретной математике

Предисловие .

.

.

.

.

.

7

Рекомендуемая литература .

.

.

9

Начальные сведения .

.

.

.

11

1. Множества

. .

.

.

.

.

11

1.

Понятие множества

.

.

.

.

11

2.

Подмножества

.

.

.

.

15

3.

Пересечение и объединение множеств .

16

4.

Разность множеств. Дополнение множества

18

5.

Свойства операций над множествами .

19

6.

Диаграммы Эйлера – Венна .

.

.

21

7.

Прямое произведение множеств .

.

22

2. Отображения и соответствия .

.

.

24

1.

Понятие отображения .

.

.

.

24

2.

Специальные виды отображений .

.

27

3.

Операции .

.

.

.

.

.

28

4.

Характеристические функции

.

.

30

5.

Соответствия

.

.

.

.

.

31

6.

Композиция соответствий .

.

.

34

3. Отношения

.

.

.

.

.

.

38

1.

Понятие отношения

.

.

.

.

38

2.

Свойства бинарных отношений .

.

39

3.Отношения эквивалентности .

.

.

42

4

4. Натуральные числа .

.

.

.

.

45

1. Натуральный ряд .

.

.

.

.

45

2. Метод математической индукции .

.

46

1. Логика высказываний

.

.

.

.

51

1.1. Высказывания и операции над ними .

51

1.2. Формулы логики высказываний .

.

53

1.3. Равносильность формул .

.

.

57

1.4. Принцип двойственности .

.

.

59

1.5. Тождественно истинные формулы .

62

1.6. Система натурального вывода .

.

64

1.7. Принцип резолюций .

.

.

.

68

2. Логика предикатов .

.

.

.

.

72

2.1. Понятие предиката .

.

.

.

72

2.2. Логические операции над предикатами

75

2.3. Кванторы .

.

.

.

.

.

79

2.4. Формулы логики предикатов

и логические законы

.

.

.

83

5

3. Формальные теории .

.

.

.

.

93

3.1. Формализация в математике

.

.

93

3.2. Исчисление высказываний .

.

.

97

3.3. Исчисление предикатов .

.

.

102

3.4. Теории первого порядка. Формальная

арифметика

.

.

.

.

.

106

4. Алгоритмы и вычислимость

.

.

.

114

4.1. Мощность множества.

.

.

.

114

4.2. Счетные множества .

.

.

.

118

4.3. Диагональный метод Кантора .

.

122

4.4. Уточнение понятия алгоритма .

.

126

4.5. Рекурсивные функции

.

.

.

128

4.6. Вычислимость и разрешимость .

.

134

5. Булевы функции.

.

.

.

.

.

138

5.1. Двоичные векторы .

.

.

.

138

5.2 Понятие булевой функции .

.

.

141

5.3. Булевы функции от одной и двух

переменных

.

.

.

.

.

142

5.4. ДНФ и КНФ

.

.

.

.

.

146

5.5. Полные системы булевых функций .

150

5.6. Важнейшие замкнутые классы булевых

функций. Теорема Поста о полноте .

153