45

Замечание. Соответствие x→Ax задает отображение ϕ:X→2X множества X в множество его подмножеств 2X. При этом

ϕ(x)=ϕ(y) тогда и только тогда, когда Ax=Ay, то есть когда x~y.

Значит, ~ = ~ϕ.Таким образом, произвольное отношение эквивалентности на множестве X порождается некоторым отображением.

4.Натуральные числа

1.Натуральный ряд. Под натуральным рядом понимают последовательность чисел

0, 1, 2, 3, … .

В современной математике существование натурального ряда является одним из базовых постулатов. Постулируется существование множества N, удовлетворяющего определенным условиям – аксиомам натурального ряда.

Натуральный ряд – это множество N вместе с отображением непосредственного следования s:N→N, s(x)=x’, удовлетворяющие следующим условиям (аксиомам).

1) Множество N содержит элемент, обозначаемый через 0,

который не следует ни за каким элементом: 0 N и 0≠x’ каков бы ни был элемент x N.

2)Отображение непосредственного следования инъективно: если x’=y’, то x=y.

3)Аксиома индукции: единственное подмножество множества N, которое, во-первых, содержит 0 и, во-вторых,

46

вместе с каждым элементом x содержит непосредственно следующий за ним элемент x’, – это само множество N.

Из первых двух условий следует, что последовательность

0, 0’, 0’’, 0’’’ …

не содержит повторяющихся элементов. В самом деле, если,

например, 0’’=0’’’’, то, по аксиоме 2, 0’=0’’’ и 0=0’’, что противоречит аксиоме 1. Аксиома индукции говорит о том, что элементами этой последовательности исчерпывается все множество N. Таким образом, повторяя отображение s, можно,

начав с 0, добраться до произвольного x N за конечное число шагов. Используя привычные обозначения 0’=1, 0’’=2, 0’’’=3, …, получаем

N = {0, 1, 2, 3, …}.

2. Метод математической индукции. Многие математические доказательства основываются на аксиоме индукции, которую можно переформулировать следующим образом.

Принцип полной индукции. Пусть P – утверждение относительно натуральных чисел n такое, что

1)P верно для n=0;

2)из справедливости P для n=k следует справедливость P

для n=k+1.

Тогда P верно для всех натуральных чисел.

Замечание. Чтобы показать, что эта формулировка следует из предыдущей, достаточно рассмотреть множество

47

A={x N | P верно для x}.

Для доказательства в обратную сторону, множеству A N можно сопоставить свойство P «быть элементом множества

A».

О доказательствах, основанных на аксиоме индукции, говорят, что они проведены методом математической индукции. Такие доказательства имеют следующую структуру:

•устанавливается справедливость P для n=0 (посылка индукции);

•предполагается, что P справедливо для некоторого произвольного, но фиксированного n=k (индуктивное предположение);

•доказывается, что из индуктивного предположения, следует, что P верно для n=k+1 (индуктивный шаг).

Примеры. Проведем два доказательства методом математической индукции.

1) Сумма первых натуральных чисел от 0 до n включительно равна 0,5n(n+1):

0+1+…+n = 0,5n(n+1).

Доказательство. Утверждение верно при n=0: имеем

0=0,5 0 (0+1) (посылка индукции).

Предположим, что доказываемое утверждение верно для n=k (индуктивное предположение), то есть

0+1+…+k = 0,5k(k+1).

48

Покажем, что тогда оно верно и для n=k+1, то есть

0+1+…+k+(k+1) = 0,5(k+1)(k+2)

(индуктивный шаг). Сумма во втором равенстве отличается от суммы из первого равенства слагаемым k+1. Поэтому, в силу индуктивного предположения, получаем

0+1+…+k+(k+1) = 0,5k(k+1)+k+1 = 0,5(k+1)(k+2),

что и требовалось доказать.

В соответствии с принципом математической индукции, доказываемое утверждение верно для всех n.

2) Число подмножеств множества, содержащего n элементов, равно 2n.

Доказательство. Утверждение верно при n=0: пустое множество (единственное множество, содержащее 0

элементов) имеет ровно одно подмножество .

Предположим теперь, что всякое множество с n=k элементами имеет 2k подмножеств, и покажем , что множество с n=k+1 элементами имеет 2k+1 подмножеств. Пусть A – произвольное множество с n=k+1 элементами. Так как k+1>0,

то A не пусто и содержит хотя бы один элемент. Пусть a A. Разобьем совокупность всех подмножеств множества A на два класса. В класс U входят все подмножества, содержащие a, в класс V входят все подмножества, не содержащие a:

U={X A | a X}; V={Y A | a Y}.

49

Положим A’=A\{a}. Множество A’ содержит k элементов, так что по индуктивному предположению, число его подмножеств равно 2k. Но подмножества множества A’ – это в точности подмножества множества A, не содержащие a. Следовательно, |V|=2k. Пара взаимно обратных отображений

U→V, X→X\{a} и V→U, Y→Y {a} устанавливает между U и V взаимно однозначное соответствие, так что |U|=|V|=2k. Поэтому общее число подмножеств множества A составляет

|U|+|V|=2k +2k =2k+1,

что и требовалось доказать.

Иногда принцип полной индукции применяется в следующей форме.

Пусть P – утверждение относительно натуральных чисел n такое, что

1)P верно для n=n0;

2)из справедливости P(n) для n= n0, n0+1, …, n0+k следует справедливость P(n) для n= n0+k+1.

Тогда P верно для всех n≥ n0.

Принцип полной индукции в этой форме может быть сведен к предыдущей формулировке заменой утверждения P утверждением P’: утверждение P имеет место для всех t, таких, что n0≤t≤n.

Возможны и другие модификации принципа полной индукции.

50

Теорема. Всякое непустое подмножество натурального ряда содержит наименьший элемент.

Доказательство. Пусть A N – непустое подмножество.

Возможны два случая: 0 A и 0 A. В первом случае 0 является наименьшим элементом множества A. Рассмотрим второй случай. Предположим, что в A нет наименьшего элемента. Пусть A’ – это множество всех таких n, что ни одно число t из промежутка от 0 до n не содержится в A. Так как 0 A, то 0 A’.

Далее, если k A’, то и k+1 A’. В самом деле, в противном случае мы имели бы 0,1,…,k A, но k+1 A – а это означает, что k+1 – наименьший элемент множества A в противоречие с предположением об отсутствии такового. По аксиоме индукции множество A’ совпадает с N. Но это находится в противоречии с предположением о том, что множество A не пусто.