7.6Игры с нулевой суммой

В теории игр наиболее хорошо разработана математическая теория игр двух лиц с нулевой суммой.

7.6.1Условия игры двух лиц с нулевой суммой

Для этой игры нужна матрица, которая так и называется — матрица игры; обозначим ее А Игра происходит партиями. Партия игры состоит в том, что игроки одновременно называют свой выбор — Первый называет какой-нибудь номер строки матрицы А, Второй — столбца этой матрицы. После этого происходит расплата. Пусть, например, Первый назвал номер ;', а Второй — / Тогда Второй платит Первому (а„) денежных единиц (или еще какой-нибудь платеж, как они договорились). На этом партия игры закончилась, можно играть следующую партию. Заметим, что в одной партии сумма выигрышей игроков равна а„ + (-Оу) =0 — отсюда и название игры.

Цели игроков — побольше выиграть. Предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что «побольше выиграть» это побольше выиграть в среднем на партию.

Свои ходы игроки должны держать в тайне. Если, скажем, Второй сумеет предугадывать ходы Первого, то он обратит это себе на пользу, а Первому во вред.

( 2 -1 1\ Рассмотрим пример игры. Матрица игры А = - 4 7 3 . Предположим, что Первый избрал нехитрую стратегию: два раза подряд выбирать 1-ю строку, потом два раза — 2-ю, затем — два раза 3-ю, затем эти выборы повторяются. Анализируя статистику сделанных ходов, Второй обнаружит эту стратегию Первого и будет, предугадывая ходы Первого, называть 2-й столбец, когда Первый, следуя вышеуказанной стратегии, будет называть 1-ю строку; он будет называть 1-й столбец при выборе Первым 2-й строки, а 3-й столбец — при выборе Первым 3-й строки.

0,2)	(1,2)	(2,1)	(2,1)	(3^3)	(3,3)	(1,2)	(1,2)
-1	-1	-4	-4	-2	а	-1	-1

Выбор

Выигрыш

Одни проигрыши! А ведь Первый может выиграть. Если бы он случайным образом чередовал выбор 2-й и 3-й строк, например, бросая монету и выбирая 2-ю строку при выпадении герба и 3-ю строку при выпадении решки, то его выигрыш был бы не менее единицы в среднем на партию игры! (Докажем это в дальнейшем). Таким образом, проигрыш — его и только его вина, при разумной игре выигрыш Первому обеспечен (см. далее).

Отметим, что несимметричность игроков кажущаяся, ведь если элемент матрицы, являющийся очередным платежом, отрицателен, то выплата его Вторым Первому на самом деле есть обратное: Первый платит абсолютную величину этого элемента Второму.

Чистые и смешанные стратегии

Желание выиграть побольше, да еще то, что предстоит сыграть много партий, приводит игроков к необходимости иметь какую-то стратегию своих ходов. Простота анализируемой игры кажущаяся. Для анализа этой игры необходимо отказаться от учета, например, психологических факторов, и ограничиться рассмотрением только очень простых стратегий игроков. Эти стратегии уже были введены в лекции 4.2. Однако здесь имеет смысл их повторить.

Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии. Легко видеть, что у Первого всего т чистых стратегий выбирать неизменно 1-ю строку, выбирать неизменно 2-ю и т.д., Второго — п: выбирать неизменно 1-й столбец, 2-й и т.д. Выбор ^-строки (столбца) называется А-й чистой стратегией.

Стратегия Первого называется смешанной, если выбор ;'-й строк производится им с некоторой вероятностью р;, такую стратегию моя но отождествить с распределением вероятностей Р = (р^, ..., р^) I-множестве строк.

Аналогично определяются смешанные стратегии Второго.

Чистая стратегия тоже подпадает под определение смешанной (когда все вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице).

Предположим, что Первый играет со стратегией Р, а Второй — < стратегией (,) = {д, ..., ^^. Если обе стратегии чистые, то выигры Первого неизменен — он равен Оу, если Первый играет по г'-й чи той стратегии, а Второй — поу-й. Если же хотя бы одна из страт гией чистой не является, то выигрыш Первого является случайно величиной (с.в.). Обозначим ее ЩР, 0. Она имеет такой ряд ра пределения-

ЩР, 0:

^11	а^
Р\Я\	Р\Чг

РтЧп

Математическое ожидание этой с. в. есть М(Р, 0 = У^Уа „/?,<?, •

' 1

Пример 1 Рассмотрим игру с матрицей А из п.1. Пусть Первый игр;

-4	1	4	8	2	-2
д,/2	<?2/2	<?з/2	<?1/2	<?2/2	9з/2

со стратегией Р' = (0, 1/2, 1/2), а Второй использует стратегию @' = (<у|, ^у с Выигрыш Первого имеет такой ряд распределения.

Далее имеем М(Р', 0'} = (-4 + 8)<7,/2 + (7 + 2^2 + (4 -2^/2 ^ 1(<?, + ^ 4д,) -Таким образом, при приведенной стратегии игры Первого, какую бы стра гию ни использовал Второй, он проиграет в среднем за партию не менее е ницы. Это и есть обещанное ранее доказательство возможности для Перв^ выиграть в этой игре.

Напомним, что по свойствам математического ожидания М(Р, О) будет близко к среднему выигрышу Первого в расчете на партию за большое число сыгранных партий. Следовательно, можно теперь более точно определить цели игроков: например, для Первого — найти такую стратегию игры Р', при которой М(Р', О) было бы максимальным. Однако при этом непонятно, против какой стратегии () Второго он будет играть. Аналогично формулируется цель Второго, но при этом остается неясным стратегия Первого.