2.4 Процеси розмноження і загибелі

Розглянемо більш докладно процес розмноження і загибелі. На рис.3 зображено граф станів цього процесу. Можливими станами процесу є стани , ,…, ,…, які становлять вершини графа, можливі переходи процесу зі стану в стан – дуги графа, поруч з якими вказані інтенсивності відповідних переходів. Нехай – інтенсивність розмноження в стані , – інтенсивність загибелі в цьому стані.

Рис. 3. Граф станів процесу розмноження і загибелі

Для ілюстрації розглянемо цех рубальних машин, моделюючи його роботу за допомогою випадкового процесу розмноження і загибелі. Стан відповідає тому становищу, коли в цеху знаходиться колод, – середнє число колод, що надходить в цех за одиницю часу за умови, що в цеху вже знаходиться точно колода, – середнє число колод, оброблених рубальними машинами в одиницю часу за умови, що в цеху знаходиться точно колод. Будемо припускати, що ці інтенсивності не залежать від часу. Зазначимо на графі також ймовірності того, що в момент процес знаходився в стані .

У разі процесу розмноження і загибелі система диференціальних рівнянь приймає вигляд

(3)

Напишем умову нормування

, (4)

яка випливає з того, що в момент часу процес обов’язково знаходиться в якомусь стані, а ці події несумісні і утворюють повну групу.

Розв’язуючі систему диференціальних рівнянь (3) з урахуванням початкових умов, можна визначити значення ймовірностей які нас цікавлять.

При виконанні деяких умов ймовірності зі зростанням часу наближаються до стаціонарних ймовірностям , які залежать від часу. На практиці обчислювальний інтерес часто представляють саме ці стаціонарні ймовірності . Оскільки вони не залежать від часу, то , і ми з системи диференціальних рівнянь (3) для стаціонарного випадку отримуємо наступну систему алгебраїчних рівнянь, до якої додано умову нормування:

. (5)

Розв’язуючі систему (5), послідовно отримаємо:

з першого рівняння .

Підставляючи отриманий вираз для в друге рівняння, розв’язуємо його щодо : .

Підставляючи вираз для в третє рівняння, виразимо через і т.д. З k-го виразу отримаємо

.

Позначимо

, (6)

тоді , і останнє рівняння в системі (5) можна представити у вигляді

,

звідки

.

Таким чином,

, (7)

де визначаються рівностями (6). Очевидно, для існування стаціонарних ймовірностей необхідно, щоб ряд був збіжним.

2.5 Кодування смо

Для розрізнення СМО ми будемо користуватися кодуванням систем, запропоновану Д.Г. Кендаллом. Систему прийнято позначати у вигляді символічного представлення: . Перша компонента характеризує вхідний потік заявок, друга компонента характеризує час обслуговування заявок, число – кількість обслуговуючих каналів, – число місць для очікування в черзі (ємність накопичувача). Якщо , то вхідний потік заявок є процес Пуассона, якщо , то потік заявок є потік Ерланга -го порядку зі щільністю розподілу часу між сусідніми заявками при . Якщо , то потік заявок регулярний, тобто заявки приходять через рівні проміжки часу. Якщо , то потік загального вигляду.

Аналогічні позначення мають місце для параметра . Якщо , то час обслуговування заявки є експоненціальним, якщо , то час обслуговування заявки має розподіл Ерланга -го порядку. Якщо , то час обслуговування заявки сталий (рівномірний). Якщо , то час обслуговування є випадкова величина загального вигляду. Так, наприклад, система являє собою одноканальну систему з відмовами з пуассонівським вхідним потоком заявок і експоненціальним часом обслуговування.

Додаткові умови (зворотний пріоритет обслуговування, ненадійність обслуговуючих каналів і т.д.) містяться в словесному описі СМО.