Mensch und Fahrzeug
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3 Lenken – Fahrzeugführung quer |
Literatur
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>3.2 Becker, G., Fromm, H. und Maruhn, H.: Schwingungen in der Automobillenkung, Berlin 1931
>3.3 Diesel, E., Goldbeck, G. und Schildberger, F.: Vom Motor zum Auto, dva Stuttgart 1957
>3.4 Eberan v. Eberhorst, R.: Kurvenund Rollstabilität (Das organische Automobil), Intern. Motor Edition, Ffm 1952
>3.5 Fiala, E.: Seitenkräfte am rollenden Luftreifen, ZVDI 96 (1954), S. 973/79
>3.6 Fiala, E.: Kraftkorrigierte Lenkgeometrie, ATZ 61 (1959), S.29/31
>3.7 Fiala, E.: Fahrdynamik des Kfz unter Berücksichtigung der Lenkelastizität, ATZ 62 (1960), S.71/79
>3.8 Fiala, E.: Wechselwirkungen zwischen Fahrer und Fahrzeug, ATZ 69 (1967)
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>3.10 Fiala, E.: Handbuch für den Straßenbau, Springer, 1974
>3.11 Kamm, W.: Das Kraftfahrzeug, Springer, Berlin 1936
>3.12 P. u. a.: Die Aktivlenkung, 5er-BMW, Sonderdruck der ATZ, August 2003
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>3.15 Pasley, P. R. und Slibar, A.: The Motion of Automobiles, Ing.-Arch. 24 (1956), S.412/24
>3.16 Rieckert, P., Schunck, T. E.: Zur Fahrmechanik des gummibereiften Fahrzeugs, Ing.- Arch. 11 (1940), S. 210/24
>3.17 Segel, L.: Theoretical Prediction …. of the Response to Steering Control, in: Research in Automobile Stability ..., The Institution of Mechanical Engineers, etwa 1964
>3.18 Sheridan, T.: Vehicle Handling, SAE-paper 638 B, 1963
>3.19 Wallner, F.: Verhalten des Fahrzeuglenkers als regeltechnisches Problem, Automob. Ing. 1 (1967), S. 54
>3.20 Willumeit, H. P.: Seitenkraftverlust des schräg rollenden Reifens unter harmonisch veränderlichen Radlasten und konstantem Schräglaufwinkel, Automob. Ind 4/1970
>3.21 Sonderdruck S. 57, Bild 3
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4 Fahrzeugführung vertikal, Federung
Jede Unebenheit in der Fahrbahn von der Länge L führt beim Überfahren mit der Geschwindigkeit v zu einer Erregung mit der Frequenz f = v/L. Manchmal wird diese Tatsache scherzhaft „Schallplattengleichung“ genannt, weil beim mechanischen Grammophon von den Wellen der Rillen die Frequenzen für die Tonerzeugung geliefert werden.
Will man die „regellose“ Fahrbahn statistisch erfassen, dann erfolgt das nach Bild 4-1 bis 4-3. Beim Fahren auf der Straße mit der Längendimension s ergibt sich aus der Funktion x(s) die
Funktion x(t), aus den Welllängen l wird die Frequenz f = v /l, aus der Dichte A(l ) = dx2/ f l die Dichte A( f ) = dx2/d f = v /f 2, A(l) (weil d l / d f = v / f 2).
x(t) wird als das Integral von unendlich vielen Elementen x = xo EXP(i · w) verstanden.
(Ζ ist die Kreisfrequenz Ζ = 2 pi · f.) Die Erregergeschwindigkeit dx / dt = i · Ζ · x, die Erregerbeschleunigung d 2x / dt 2. Die Geschwindigkeitsdichte V( f ) = 4 pi2 v · A(l ), die Beschleunigungsdichte B( f ) = 16 pi4 · v · A(l ) f 2. Das Quadrat des Effektivwerts der Beschleunigung ist beff 2 = INT (Beff · df ). Es ist über den ganzen Bereich der Frequenzen, bzw. Wellenlängen zu erstrecken.
Bild 4-1 Der Längsschnitt durch eine Straße zeigt die Amplitude x als Funktion der Wegstrecke s, x = x(s). Zur statistischen Erfassung wir das Koordinatensystem so gewählt, dass xm = 0. (Die x-Achse liegt „im Schwerpunkt“ von x(s)). Der Effektivwert xeff ist dann ein Maß für die „Unebenheit“. Die Dichte A(l) beschreibt nach der angegebenen Funktion den „Wellenlängengehalt“.
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Bild 4-2 Es kommt aber auch auf die Verteilung der Amplituden über der Wegstrecke an. Meistens kann eine Normalverteilung angenommen werden. Nur unter dieser Voraussetzung gelten die weitergeführten Rechnungen. 68 % der Strecke ist die Amplitude x(s) absolut kleiner als xeff, 95 % kleiner als 2 xeff und 99.7 % kleiner als 3 xeff. Man geht davon aus, dass x(s) > 3 xeff „nicht vorkommt“.
Bild 4-3 Unebenheitsdichte als Funktion der Wellenlänge A(l) (links) und Frequenz A( f )
Straßenoberflächen werden zur Untersuchung ihrer Oberflächenqualität auf verschiedene Art vermessen. Aus diesen Messungen ergibt sich Bild 4-3. Die Unebenheitsdichte A(l) = dx2/dl zwischen l = 0.1 und l = 100 m liegt für unterschiedliche Straßen bei etwa 10–6 m. Wellenlän-
4.1 Fahrzeuge ohne Federung – Ochsenkarren |
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gen unter 0.1 m werden von der Aufstandsfläche der Reifen eingeebnet, Wellen über 100 m Länge lassen die Federung bei den gängigen Geschwindigkeiten nicht ansprechen.
Die Grenzkurven gelten für alte Landstraßen in schlechtem Zustand und gute, neue Autobahnen. An die Fahrbahnoberfläche für den Transrapid werden höhere Ansprüche gestellt, z. B. A(l) = 10–7 m. Die Unebenheitsdichte als Funktion der Frequenz A( f) errechnet sich daraus zu A( f) = v · A(l)/f 2. Sie ist in Bild 4-3 für Mittelwert und Grenzkurven bei v = 1 m/s angegeben.
Dieser Bereich wird durch die Länge der Aufstandsfläche Lb begrenzt, Bild 4-4.
Bild 4-4 Aufbaubeschleunigung beff am ungefederten Fahrzeug (Ochsenkarren). Das Integral beff = SQR(INT B · df) findet dadurch eine obere Grenze, dass die Unebenheiten der Fahrbahn durch die Länge der Aufstandsfläche begrenzt wird: fmax = v/Lb.
4.1 Fahrzeuge ohne Federung – Ochsenkarren
Bewegen sich Fahrzeuge mit der Geschwindigkeit v auf einer gegebenen Fahrbahn, dann lässt sich der Effektivwert der Beschleunigung angeben. Dazu ist die Beschleunigungsdichte über den ganzen Frequenzbereich zu integrieren. Es ergibt sich stets eine obere Grenze durch die Länge der Aufstandsfläche des Rades. Ist sie z. B. 0.1 m lang, dann werden bei einer Fahrgeschwindigkeit von v alle Frequenzen über f = v/l unterdrückt. Abgesehen von allen weiteren Maßnahmen wird man daher versuchen, die Aufstandsfläche so lang wie möglich zu machen. Das ist durch einen möglichst großen Raddurchmesser zu erreichen. In der geschichtlichen Entwicklung wurden die Scheibenräder rasch sehr schwer, weshalb die Erfindung des Speichenrades vor 6000 Jahren einen großen Fortschritt bedeutet hat. Im Beispiel des Bildes 4-4 beträgt der Effektivwert der Beschleunigung 2.54 m/s2, der „Spitze-Spitze-Wert“ bss = 6 beff = 15.2 m/s2, der Maximalwert bmax = +/– 7.61/s2. Solange man das Fahrzeug als völlig starr
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betrachten kann, würde eine Last auf dem Fahrzeug nicht abheben. Seine Last schwankt zwischen m (g +/– 7.61), also m 2.2 bis m 17.4 N. Tatsächlich ist das Fahrzeug nicht völlig starr. Der Radumfang wird sich unter der konzentrierten Last deformieren, die Achse verbiegen, das Bodenbrett sich durchbiegen, usw.
4.2 Ideale Federung –Transrapid
Will man die Nutzlast eines Fahrzeuges von den Beschleunigungen aus der Unebenheit der Fahrbahn isolieren, dann muss ein Element R zwischen Fahrbahn und Fahrzeugmasse M eingeschaltet werden, Bild 4-5. Dieses Element R soll die Last abstützen, also bei f = 0 übertragen, höhere Frequenzen aber nicht durchlassen. Das ist aber nicht möglich, weil das Fahrzeug langen Wellen folgen muss um z. B. einen Hügel zu überwinden oder ein Tal zu durchfahren. Es hängt von dieser Eckfrequenz f0 ab, welche Beschleunigungen übertragen werden und welche Unebenheiten vom Element R geschluckt werden. Die Beschleunigung stammt aus der starren Kopplung an die Fahrbahn zwischen 0 und f0 Hz. Sie ist
beff 2 = INT( f = 0 bis f0) (B( f ) df = 16 pi4 · v · A(l) f 2.
Bild 4-5 Ideale Federung. Das Element R überträgt alle Frequenzen unter f0, keine über f0. Dadurch folgt das Fahrzeug den langen Wellen mit niederen Frequenzen ( f < f0), bleibt aber von den höheren Frequenzen unbeeinflusst.
Wird z. B. für eine Magnetschwebebahn für den Fahrweg A(l) = 10-7 und eine Fahrgeschwindigkeit von 120 m/s angenommen, dann schwankt der Abstand zwischen Fahrbahn und Führungselement um +/– 3 (xa – x)eff = +/– 10.4 mm:
(xa – x)eff 2 = INT( f = 0 bis 1/0) (A( f ) df ) = 3.46 mm, die Aufbaubeschleunigung ist 0.08 m/s2, weil beff 2 = INT( f = 0 to f0) (B( f ) df ) = 64 · 10-4. (B( f ) = 16 pi4 f 4 v (Al )/f2)
4.3 Erträglichkeit mechanischer Schwingungen, Federungskomfort |
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Das Element R muss den Wegunterschied zwischen Aufbau xa und Fahrbahn x aufnehmen:
(xa – x)eff 2 = INT ( f = f0 bis 1/0) (A( f ) df = v · A(l)/f02.
Für die Annahmen zum Transrapid (v = 120 m/s = 432 km/h, A(l) = 10–7) errechnet sich eine effektive Beschleunigung beff = 0.239 m/s2 und eine „Federweg“ (xa – x)eff = 3.46 mm. Das Führungselement bewegt sich gegen die Fahrbahn um +/– 10.4 mm.
4.3Erträglichkeit mechanischer Schwingungen, Federungskomfort
Nach ISO 2631/3 und verschiedenen anderen Untersuchungen sind die in Bild 4-6 angegebenen Beschleunigungen für die dort angegebene Zeit t „erträglich“. Geht man für ein Auto von zwei Stunden ununterbrochenem Fahren aus, dann ist z. B. eine Beschleunigung von 0.5 m/s2 bei 0.1 Hz erträglich. Das entspricht einer Amplitude von 0.5/w2 = 0.5 /(4 pi^2 f 2) = 1.27 m. In 5 s bewegt sich der Betroffene um 2.54 m nach oben oder nach unten. Es ist der „Seekrankheitseffekt“, von dem wir wissen, wie groß die individuellen Unterschiede sind. Und welchen Einfluss die Tagesverfassung hat. Bei 1 Hz vertragen wir relativ viel, 1.5 m/s2, bzw. +/– 38 mm. Bei 10 Hz nur mehr 2.3 mm und bei 100 Hz 0.025 mm. Das ist so wenig, dass die Schwingung gewissermaßen gar nicht mehr in den Körper eindringt. Die Erträglichkeitskurve gibt nur eine ungefähre Vorstellung.
Bild 4-6 Wahrnehmungsstärke von mechanischen Schwingungen für den sitzenden Menschen
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4 Fahrzeugführung vertikal, Federung |
4.4 2-Masse Federungsmodell
Das einfachste Federungsmodell hat zwei Massen: die Aufbaumasse ma und die Radmasse mr, Bild 4-7. Zwischen Radmasse (Koordinate xr) und Fahrbahn (x) liegen die Reifenfeder cr (N/m) und Reifendämpfung, die meist weggelassen wird, weil sie klein ist und im Normalfall wenig Einfluss hat. Zwischen Radund Aufbaumasse liegen Feder c (N/m) und Dämpfer rho (Ns/m). Das Verhältnis in dem xa und xr zu x stehen wenn die Erregung x = x0 EXP(i · Ζ · t) ist, geben die in Bild 4-7 angeführten Differentialgleichungen. Das Ergebnis ist als Aufbaubeschleunigung ba = –xa · Ζ2 bei der Erregergeschwindigkeit x iΖ gegeben: ba wegen der Bedeutung, x · iΖ deshalb, weil die Erregergeschwindigkeit weniger von der Erregerfrequenz abhängt als die Erregeramplitude x.
– Der Extremfall Dämpfungsmaß D = 0 führt zu zwei Polstellen bei etwa 1 und 10.5 Hz, der Extremfall D = 9999 (= sehr groß) zu einer Polstelle bei etwa 3 Hz: Aufbauund Radmasse federn zusammen (der Dämpfer ist ja starr) auf der Reifenfeder. An 4 Punkten schneiden sich die beiden Kurven: bei 0 Hz, etwa 1.4 Hz, 10 und 11 Hz. Diese 4 Punkte sind Fixpunkte für alle endlichen Dämpfungen. Durch die Wahl des Dämpfungsmaßes kann man zwar den Verstärkungsfaktor ba/xiΖ bei 1 Hz stark beeinflussen, kaum aber bei 10.5 Hz.
Bild 4-7 Aufbaubeschschleunigung xa · Ζ2 / Erregergeschwindigkeit dx/dt = x · Ζ über der Erregerfrequenz f = Ζ/2 pi. Für das eingezeichnete Modell mit der Aufbaumasse ma und der Radmasse mr, den Kennfrequenzen f1 = SQR(c/m) und f2 = SQR(cr/mr) ist das Ergebnis für verschiedene Dämpfungen D angegeben. Die Schnittpunkte der Kurven für D = 0 und D = 9999 sind invariant für alle beliebigen D.
Der Verstärkungsfaktor selbst sagt noch nichts über die interessierenden Größen aus. Es kommt auch noch auf die Fahrgeschwindigkeit v und die Unebenheitsdichte A(l) an. Von Interesse sind drei Größen: die Aufbaubeschleunigung (wegen Fahrkomfort und Beanspruchung des Ladeguts), der Federweg (xa – xr), der konstruktiv begrenzt ist und die Reifendeformation (xr – x), die multipliziert mit cr die Radlastschwankung ergibt.
4.4 2-Masse Federungsmodell |
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Die Dichten für die Größen sind:
Beschleunigungsdichte des Aufbaus
Ba( f )= dxa2/df Ζ4= dx2/df (xa/x)2 16 pi4 · f 4= 16 pi4 · f 2 (xa/x)2 v · A(l)
Amplitudendichte des Federwegs
D(FW) = d(xa – xr)2/df = c · A(l) ((xa – xr)/x)2/f 2
Amplitudendichte der Reifendformation
D(RD)= d(xr – x)2/df = c · A(l) ((xr – x)/x)2/f 2
Die Bilder 4-8 bis 4-10 zeigen den Einfluss verschiedener Straßen auf die Aufbaubeschleunigung. Es ist das Integral INT( f = 0 bis f ) (Ba( f ) df aufgetragen. Das Ergebnis ist nur bis f = 20 Hz aufgetragen, weil höhere Frequenzen keinen wesentlichen Zuwachs mehr ergeben. Will man auf der durchschnittlichen Straße (Bild 4-8) ein möglichst kleines baeff erreichen, dann muss das Dämpfungsmaß D = 0.168 gewählt werden. Sowohl D = 0.2 als auch D = 0.1 führen zu höheren baeff. Will man allerdings baeff zwischen f = 0 und 3 minimieren (z. B. weil die Sitzfederung die Frequenzen darüber herausfiltert), dann muss man stärker dämpfen, eine „sportlichere“ Dämpfereinstellung wählen.
Bild 4-8 Aufbaubeschleunigung baeff für das Modell Bild 4-7 auf der Straße A(l) = 10-6 mit der Fahrgeschwindigkeit v = 30 m/s. Mit dem Dämpfungsmaß D = 0.168 wird die kleinste Aufbaubeschleunigung im Frequenzbereich f = 0–20 Hz erreicht.
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Auf der guten Straße, Bild 4-9, führt D = 0.2 zum minimalen baeff. Es ist um 35 % kleiner als auf der durchschnittlichen Straße.
Bild 4-9 Aufbaubeschleunigung baeff für das Modell Bild 4-7 auf der guten Straße A(l) = 2.5 · 10-7 · l0.2 mit der Fahrgeschwindigkeit v = 30 m/s. Mit dem Dämpfungsmaß D = 0.2 wird die kleinste Aufbaubeschleunigung im Frequenzbereich f = 0 bis 20 Hz erreicht.
Auf der schlechten Straße, Bild 4-10, muss man eine kleinere Dämpfung wählen, D = 0.118. baeff ist etwa doppelt so groß wie auf der durchschnittlichen Straße.
Bild 4-10 Aufbaubeschleunigung baeff für das Modell Bild 4-7 auf der schlechten Straße A(l) = 10-5 · l-0.4 mit der Fahrgeschwindigkeit v = 30 m/s. Mit dem Dämpfungsmaß D = 0.118 wird die kleinste Aufbaubeschleunigung im Frequenzbereich f = 0 bis 20 Hz erreicht.
4.4 2-Masse Federungsmodell |
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Der Effektivwert des Federwegs FW ist umso kleiner, je stärker gedämpft wird. Auf der durchschnittlichen Straße bei D = 0.3 z. B. 9 mm, oder FWss (Spitze-Spitze) 6 · 9 = 54 mm. Bei einem gesamten Federweg von etwa 200 mm (zwischen den harten Anschlägen) mag das wenig erscheinen. Aber es geht Federweg auch für unterschiedliche Beladung (hier 42 mm für 50 kg Laständerung), für Kurvenneigung (bei 5° und 1400 mm Spurweite +/– 61 mm) und Bremsund Beschleunigungsnicken verloren. Zum Glück kommen nicht alle Ansprüche immer gleichzeitig vor. Aber die „weichen Anschläge“ beginnen schon früher und begrenzen damit den linearen Bereich der Federung.
Bild 4-11 Federweg (xa – xr)eff für das Modell Bild 4-7 auf der Straße A(l) = 10-6 mit der Fahrgeschwindigkeit v = 30 m/s. Mit zunehmendem Dämpfungsmaß wird der Federweg kleiner.
Die Radoder Reifendeformation RD ist für D = 0.43 minimal. Es ist aber nicht gesagt, ob die hohen oder niedrigen Frequenzen schädlicher für die Seitenführung sind. Also muss das Ergebnis 4-12 frequenzbewertet werden.
Im Bild 4-13 ist die Aufbaubeschleunigung baeff über Federweg (xa – xr)eff und Radlastschwankung Pr = cr (xe – x)eff aufgetragen. Daraus geht hervor, dass ba wesentlich von der Härte der Federung c abhängt, Federweg und Radlastschwankung aber vom Dämpfungsmaß D. D = 0.2 führt zu einem guten Kompromiss zwischen Beschleunigung, Federweg und Radlastschwankung. Kleinere Federwege und Radlastschwankungen erreicht man unter Aufgabe von Komfort durch eine härtere Dämpfung.