Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

(8x

3)dx

(8x 3)dx d (4x2

3x 8)

d (4x2

3x 8)

4x2

3x 8

4x2

3x 8

= ln

4x2

3x 8

C .

10.						(x							4)dx															(x				4)dx												1	d (x2								8x									1)									1					d (x2						8x	1)
						(x							4)dx																															1																											1					d (x2						8x	1)
																																										2																												2
						x		2					8x						1																																																												x		2	8x	1
								2																																																																									2
	1

=				2 x2 8x 1 =																										x2 8x 1 C .
=	2			2 x2 8x 1 =																										x2 8x 1 C .
	2
11.											xdx																	xdx						1			d (x2 )											1																	d (x2 )
											xdx																							1														1																	d (x2 )
																																2														2
						x		4						x	2				1																																					(x					2	)			2					(x			2	)			1
								4							2																																														2				2								2
																								1
	1											d (x2												1			)
=												d (x2											2				)						1		ln				x			2					1					(x				2							1				)		2				5				C .
																							2										1									2					1									2							1						2				5
	2																																2												2																		2										4
	2										(x			2				1			)		2						5				2												2																		2										4
											(x						2				)								4
																	2												4
12.				dx												dx									d ln x															d ln x											ln				ln x													C.



			x ln x														x																										ln x
			x ln x														x																										ln x						d ex
13.							e		x	dx											ex dx										d ex																																						arcsin							e	x				C.
									x																																																																				x


	4											e	2x																																2				2					e				x			2														2
	4											e																																					2									x

14.							cos xdx																																											1

																												cos xdx											d (sin x)																		d (							3 sin x)

	7											3sin2 x																																						3



=	1													d (					3 sin x)																			1			arcsin									3 sin x															C .

	3																									sin x)2												3												7
	3									7							(					3				sin x)2												3												7
15.			x cos x														sin x							dx							d (xsin x)																(sin x									x cos x)dx																						d (xsin x)
15.			x cos x														sin x							dx							d (xsin x)																(sin x									x cos x)dx																						d (xsin x)
							(xsin x)2																																																																								(xsin x)2
							(xsin x)2																																																																								(xsin x)2
=								1									C .

				xsin x
				xsin x
16.										sin x cos xdx																										2 a2										b2 sin x cos xdx																								d a2 sin2 x												b2 cos2 x
										sin x cos xdx


					a2 sin2 x															b2 cos2 x
					a2 sin2 x															b2 cos2 x
																						d a2 sin2 x																	b2 cos2 x
										1												d a2 sin2 x																	b2 cos2 x																a				2	sin						2			x				b	2	cos					2	x
										1																																													a					sin									x				b		cos						x	C ,	a b .

		2 a2											b2																																																				a2							b2
																											a2 sin2 x											b2 cos2 x
																											a2 sin2 x											b2 cos2 x

336

																				cos xdx									d sin x
17.							cos xdx													cos 2x							1			2sin2 x											d sin x


	2										cos 2x																												3			2sin2 x
	2										cos 2x									2		cos 2x								3	2sin2 x								3			2sin2 x
																				2		cos 2x								3	2sin2 x

											d						2 sin x
	=		1								d						2 sin x					1						arcsin				2 sin x					C.
			1																			1										2 sin x

	2										3						2sin2 x									2					3
	2										3						2sin2 x									2					3
																																				5			x							d			5 x
				2				x	5		x											2				x	5		x														1			d			2
								x			x															x			x							2													2
18.															dx																dx					2					dx
18.				25x								4x			dx						x				25 x						dx					5 2x					dx		ln	5	5			2x
				25x								4x							4		x				25 x					1						5 2x			1				ln		5			1
																																				2						2					2
																						4


																5 x			1
																5 x
	1									ln						2						C.
	1															2

				2ln				5							5			x
															5				1
								2
															2


19.						sin x cos xdx																			cos2 x tg xdx															tg xdx
19.					sin			4 x							cos4 x									cos4 x 1							tg4 x							cos2 x 1				tg4 x
					sin			4 x							cos4 x									cos4 x 1							tg4 x							cos2 x 1				tg4 x
		tg xdx											1	d tg2 x									1						d	tg2 x				1	arctg				tg2 x				C .
		tg xdx											1										1						d	tg2 x				1
		cos2 x																												tg4 x
		cos2 x									2											2							1	tg4 x			2
20.			J														dx


												x 1							x 1
												x 1							x 1

Позбуваючись ірраціональності в знаменнику, одержимо:

J 12 x 1 x 1 dx 12 x 1 12 d x 1 12 x 1 12 d x 113 x 1 3 x 1 3 C .

21.	ch(8x	7)dx		1	ch(8x 7)d (8x				7)		1	sh(8x	7) C .
			8							8

22.	xdx		xdx			1	d (3x2	5)	1	d (3x2			5)

	sh2 (3x2	5)			6				6	sh2 (3x2			5)

337

cth(3x2

C .

23.

sh4 x ch xdx

ch xdx

d (sh x)

sh4 xd (sh x)

sh5 x

C .

(10x 7)sh(5x2

(10x 7)dx d (5x2

24.

9)dx

7x 9)

sh(5x2

9)d (5x2

ch(5x2

C .

ch4 x

sh4 x

25.

sh 2x

ch4 x

4 x d (2x)

(ch

x)(ch x

ch 2x 1dx

ch 2x 1

sh 2xdx

d ch 2x

ch 2x

C .

d ch 2x

ch 2x

26. I x3 31 x2 dx xdx 12 d x2 12 x2 31 x2 d x2

12 x2 1 1 31 x2 d x2 1 12 x2 1 31 x2 d x2 1

–12 31 x2 d x2 1 12 x2 1 43d x2 1 12 x2 1 13d x2 1 143 x2 1 73 83 x2 1 43 +С.

6.2.Методи інтегрування

6.2.1. Метод заміни змінної, або підстановки

Одним з основних методів обчислення інтегралів є метод заміни змінної, суть якого полягає в тому, що якщо функція x t має

неперервну похідну на певному інтервалі та монотонна, то на цьому

інтервалі справедлива формула

f x dx f t t dt .

Нижче цей метод проілюстровано на ряді прикладів.

338

Приклад 1.

3x 1

dx.

4x 17

Розв’язання. Виділимо повний квадрат у знаменнику

1 2

4x 17

16. Тоді

3x 1

3 u

udu

x u

u2 4

dx du

ln u

arctg

C .

Приклад 2.

2x 5

dx.

x2 6x 2

Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз, виділяючи повний

квадрат x2 6x 2 x 3 2 7 , тоді

2x 5

x 3 u

2 u 3 5

d u2 7

x u 3

x 3 2 7

dx du

u2 7

x 3

6x 2

C .

Приклад 3.

3 2

Перший спосіб (заміна змінної)

ctg

arctg t

sin2 t

cos

costdt

sin t

3 2

ctg

sin t

cos3 t

tg 2t

1 x2

339

C .

1 x2

Другий спосіб (безпосереднє обчислення)

1 3 2

3 2

2 1

1 x2

Приклад 4.

sin2 x

6sin x cos x

16cos2 x

tg x

t tg x

6 tg x 16

cos2 x

sin

sin x

cos2 x

cos x

tg x

3 2

tg x

cos

t2 dt

Приклад 5.

sin x

3ln 2

sin2 x

2sin x

3ln

sin x

6.2.2. Застосування методу заміни змінної при обчисленні невизначених інтегралів від ірраціональних функцій

m l

1. Інтеграли вигляду

R x n ,x s ,...,x r dx, де R

–

раціональна

функція своїх аргументів,

обчислюються

заміною x tk

– спільний

знаменник дробів

,...,p

), що дозволяє позбутися ірраціональності.

340

Зауваження.	Функція f x, y1 , y2 ,...,yn , де y1, y2 ,...,yn – деякі функції
від х, називається	раціональною від х, y1, y2 ,...,yn , якщо значення цієї

функції для певних значень аргументів дістаємо застосуванням лише арифметичних операцій: додаванням, відніманням, множенням і діленням.

Приклади

1. I x x 1 .

Розв’язання

Перший спосіб. У даному прикладі k=2, тому варто зробити заміну x t2 . Тоді

2tdt

2arctg t

2arctg

t t2

Цей інтеграл можна обчислити й безпосередньо.

Другий спосіб.

2arctg x C .

x t4

4 t2 1 1dt

4t3dt

t 2dt

x t

t 1

dx 4t3dt

t t

t 1

1 dt

ln t

1 2

4 x

t12 ,

12 x

t 212t11dt

xdx

12t11dt

t12 (t4

t3 )

x(3 x

4 x )

3 x

4 x

(1 t2 ) t2

(1 t2 )dt

t2 (t

t 2 (t

341

+ 12	t2dt	12	dt	12	dt	12	d (t	1)
	t2 (t 1)		t2		t		t	1

=12

ln t

ln(t

12 ln

C =

1)12

12ln

12 x

(12 x

12 x

2. Інтеграли вигляду

ax b

dx,

R x, a x b

, a x b

,..., a x b

де R – раціональна функція

своїх аргументів, обчислюються заміною

ax b

t k

–

найменше

спільне

кратне

знаменників показників

a x b

,...,ms

), що дозволяє позбутися ірраціональності.

1 x t6 ; x t6 1;dx 6t5dt

Приклад 1.

1 x

t6 t3; 3

3 t 6 t 2

1 x

(t6

1)2

6t5dt

6 (t6

1)2

t3 t3dt

6 (t15

2t9

t3 )dt =

t16

2t10

C 6t4

t12

6 1 x

16 10

16 5

7 4

(1 x)2

1 x

6 1 x 1

(1 x)2

C .

Приклад 2.

x)(2

x)dx

6)(2

8 2x

( 4 2)d (x

2arcsin

C .

342

Приклад 3. I 4 x 1 3 x 2 5 .

Розв’язання. Перетворимо знаменник

			x 1 3	x 1 5 x 2 5		x 2	5
3	5				8
4 x 1 x 2		4		x 1 5	4 x 1

						x 1

x 1 2 x 2 4 x 2 . Тоді

x1 x 1

x 2

t 4 ,

x 1 x 2 dx 4t 3dt

x 1

x 1 2

x 2

3dx

1 2 4

x 2

4t 3dt ,

t 3dt

x 1 2

x 1

t 3dt

4 x 1

C .

t 4 t

3t C

x 2 C

3 x 2

3 4

Приклад 4.

e 3

x dx

;t2

2tdt

(3 x)dx

6dx

x)2

et 2tdt

C .

t( 6)

3. Інтеграли вигляду R x,x2 a2 dx , де R – раціональна функція своїх аргументів. При знаходженні цих інтегралів використовують заміни:

a) R x,a2 x2 dx .

Підстановкою x asint (a cost), a 0 інтеграл зводиться до раціональної функції від sin t і cost .

343

x		asin t, dx a costdt, a2			x2	a2	a2 sin2 t a2 cos2 t ;

	a2	x2	a cost , R(x,		a2	x2 )dx	R(asin t,a cost)a costdt .
		Після	інтегрування	потрібно повернутися до колишньої змінної.
						C
					х		а
							t
					A		B

Розглянемо трикутник:

, tg t

sin t , катет AB a2

x2 , cost

б) R(x, a2 x2 )dx .

Застосуємо підстановку x

a tgt

ctgt) , dx

x2 a2 (1 tg2 t) a2

R x,

x2 dx

cos2 t

	x		.


	a2 x2
	a2 x2

a cos2 t dt,

R a tgt,a	1	adt	.

	cost	cos2 t

Повернемося до старої змінної, використовуючи трикутник:

	C
х		a2 x2
		t
A	а	B

tg t,

a2 x2 , sin t

, cost

в) R x,

dx .

x2 a2

Для того щоб позбутися радикала в підінтегральному виразі,

зручною буде підстановка:

або x

a cost

dt,

sin t

cos t

sin2 t

344

a2 (1

sin2 t)

a2 cos2 t

a cost

sin2 t

sin t

;

a cost

R x,

x2 a2

dt .

sin2 t

sin t

Повернемося до колишньої змінної:

a2 x2

sin t

cost

tg t

Приклади

sin t

x2 dx

sin2 t 1

sin2 t costdt

sin2 t cos2 tdt

costdt

sin2

2tdt

cos 4t

sin 4t

arcsin x

sin

4arcsin x

x2dx

ch t

ch2 t

sh tdt

ch2 t sh tdt

ch2 tdt

sh tdt

sh t

ch 2t

sh 2t

arc ch x

sh 2arc ch x

C .□

x5dx

1 x2

Розв’язання

Перший спосіб (заміна змінної)

sin t, dx

costdt

sin5 tdt

cos2 t

d cost

cost

2cos2 t

cos4 t d cost

cost

cos3 t

cos5 t

345

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx