Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

5.4.17. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який вписано в

еліпс x2 y2 1. a2 b2

5.4.18.На сторінці книжки друкований текст має займати S квадратних сантиметрів. Поля зверху та знизу мають бути по а см, праве та ліве

– по b см. Якщо брати до уваги тільки питання економії, то якими мають бути найбільш економічні розміри сторінки.

5.4.19.Посланець має дістатися з пункта А, який знаходиться на одному березі річки, в пункт В, що знаходиться на другому. Знаючи, що швидкість руху на березі в k разів більше швидкості руху по воді, визначити, під яким кутом посланець має перепливти річку, щоб дістатися в В за найкоротший час. Ширина річки – h, відстань між пунктами А і В (вздовж берега) – d.

5.4.20. Знайти співвідношення між радіусом R і висотою Н циліндра, який має при даному об’ємі найменшу повну поверхню.

5.4.21. Міноносець стоїть на якорі в 9 км від найближчої точки берега; з міноносця треба вислати посланця в табір, який розташований в 15 км, рахуючи по берегу від найближчої до міноносця точки берега (табор розташований на березі). Якщо посланець може робити пішки по 5 км/год, а на веслах по 4 км/год, то в якому пункті берега він має пристати, щоб потрапити до табору за найкоротший час?

5.4.22. Лампа висить над центром круглого столу радіуса r. При якій висоті лампи над столом освітленість предмета, який лежить на краю стола, буде найкращою? (Освітленість прямо пропорційна коефіцієнту кута падіння променів світла та обернено пропорційна квадрату відстані від джерела світла).

5.4.23. Витрати на паливо для топки пароплава пропорційні кубу його швидкості. Відомо, що при швидкості в 10 км/год витрати на паливо складають 30 грн на годину, інші витрати (які не залежать від швидкості) складають 480 грн на годину. При якій швидкості пароплава загальна сума витрат на 1 км шляху буде найменшою? Якою буде при цьому загальна сума витрат на годину?

5.4.24. Три пункти А, В і С розташовані так, що АВС=60 . З пункта А виходить автомобіль, а одночасно з пункта В потяг. Автомобіль рухається в напрямку до В зі швидкістю 80 км/год, потяг в напрямку до С зі швидкістю 50 км/год. У який момент часу (від початку руху)

326

відстань між потягом та автомобілем буде найменшою, якщо

АВ=200 км?

5.4.25. Знайти висоту прямого конуса найменшого об’єму, який описано навколо кулі радіуса R.

5.4.26. У сегмент параболи y2 2 px , що відсікається прямою x 2a , треба вписати прямокутник найбільшої площі.

5.4.27. Число 36 розкласти на два таких множника, щоб сума їх квадратів була найменшою.

5.4.28.Яким має бути кут при вершині рівнобічного трикутника даної площі S, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був найбільшим?

5.4.29.З трьох дошок однакової ширини збивається жолоб. При якому куті нахилу бокових стінок площа поперечного перерізу жолоба буде найбільшою?

5.4.30. Вікно має форму прямокутника, який зверху завершується півколом. Визначити розміри вікна, що має при даному периметрі найбільшу площу.

Завдання 5

S 2t2 3t 1. Визначити кінетичну енергію тіла через 5 с після початку руху.

5.5.3. Штучні супутники Землі рухаються навколо Землі по еліптичних орбітах. Відстань r супутника від центру Землі може бути наближено виражена залежно від часу t таким рівнянням:

5.5.4. Неоднорідний стрижень АВ має довжину 12 см. Маса його частини АМ зростає пропорційно квадрату відстані даної точки М від кінця А

327

і дорівнює 10 г при АМ=2 см. Знайти лінійну щільність стрижня в будь-якій точці М.

5.5.5. Залежність між кількістю Х речовини, яка отримується під час деякої хімічної реакції, і часом t виражається рівнянням X A 1 e kt .

Визначити швидкість реакції.

5.5.6. За законом Клапейрона об’єм V, який займає газ, тиск газу p і абсолютна температура Т пов’язані формулою pV RT , де R – газова стала. Знайти наближений вираз для приросту V об’єму V при зміні тиску на величину p , вважаючи температуру незмінною.

5.5.7. Тіло, яке кинуте вверх, рухається за законом S 4,905t2 981t 950 (S – в метрах, t – в секундах). Знайти, в який момент часу швидкість тіла буде дорівнювати нулю і якої найбільшої висоти воно досягне в цей момент.

5.5.8. Точка робить коливальні рухи за законом x Asin t . Довести, що прискорення руху пропорційне відхиленню x.

5.5.9. У резервуар, що має форму прямого конуса, який опущено вершиною вниз, надходить рідина з постійною швидкістю a м3 / с .

З якою швидкістю підвищується рівень h рідини в резервуарі, якщо його висота дорівнює Н (м), а радіус основи R (м)?

5.5.10. Тіло рухається прямолінійно за законом S t 29 6t 3t2 м.

Який шлях пройшло тіло за час від початку руху до моменту, коли швидкість його руху стала дорівнювати нулю? Чому дорівнює прискорення в цей момент часу?

5.5.11. Цегла звалилася з будинку, висота якого 81 м. Через скільки секунд вона вдариться об землю? Якою буде її швидкість у цей момент?

5.5.12. Залежність барометричного тиску р від висоти описується функцією ln( p / p0 ) ch , де p0 − нормальний (на рівні моря) тиск. На висоті 5540 м тиск досягає половини нормального. Знайти швидкість зміни барометричного тиску залежно від висоти.

5.5.13. Кількість електрики в дроті змінюється за законом Q 2t2 4t Кл.

Знайти: а) середню величину струму за перші дві секунди; б) величину струму в кінці другої та в кінці п’ятої секунд.

328

5.5.14. Маса m неоднорідного стрижня розподіляється за законом m l2 3l 5 , де l – довжина стрижня. Знайти : а) середню лінійну

щільність стрижня довжиною 5 см, рахуючи від його початку; б) лінійну щільність стрижня при l=5 см.

5.5.15. Залежність кількості теплоти Q, яка отримана тілом при нагріванні,

прискорення руху. Коли колесо зупиниться?

5.5.19. Показати, що якщо тіло рухається за законом s aet be t , то його прискорення дорівнює пройденому шляху.

5.5.20.Закон руху тіла задається формулою s a bt ct2 . Показати, що діюча сила є сталою.

5.5.21.Людина зростом 1,7 м віддаляється від джерела світла, що

знаходиться на висоті h м h 1,7 , зі швидкістю 5 км/год. Знайти швидкість переміщення тіні її голови.

5.5.22. З пункту О по двох прямих, які нахилені під кутом 60o , одне до одного рухаються два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 5 км/год. Закон руху другого тіла визначається за

формулою S2 2t2 t ( S2 – в кілометрах, t – в годинах). Визначити, з якою швидкістю вони віддаляються одне від одного в момент, коли перше тіло знаходиться від пункту О на відстані 10 км.

329

5.5.23.Драбина довжиною a м, що прихилена до вертикальної стінки, падає, ковзаючи одним кінцем об стіну, а другим об підлогу. З якою швидкістю опускається верхній кінець драбини в момент, коли нижній кінець, який відсувається від стіни з постійною швидкістю v м/с, знаходиться від неї на відстані b м?

5.5.24.Важка балка довжиною a м стоїть вертикально біля стіни так, що нижній її кінець прикріплений до невеликої вагонетки, а верхній утримується канатом, який намотаний на коловорот. Бажаючи опустити балку, канат звертають зі швидкістю v м/с. З яким прискоренням відкочується вагонетка в момент, коли вона віддалиться від стіни на відстань b м?

5.5.25. Точка рухається по прямій y 2x 3 так, що абсциса її зростає з постійною швидкістю v 3 . З якою швидкістю змінюється ордината?

5.5.26. Точка рухається в першій чверті по дузі кола x2 y2 100 так, що її ордината зростає з постійною швидкістю v 2 . З якою швидкістю змінюється абсциса? Знайти швидкість зміни абсциси, коли ордината дорівнює 6.

5.5.27. Точка рухається в першій чверті по кубічній параболі 48y x3 від точки M 0,0 . Яка з координат ( x або y ) при цьому змінюється швидше ?

5.5.28.Швидкість тіла, що рухається прямолінійно, визначається

формулою v t2 3t см/с. Яке прискорення буде через 4 с після початку руху?

З якою швидкістю рухається ця тінь в той момент, коли OA 3см ?

330

Глава 6. Невизначений інтеграл. Методи інтегрування

6.1. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла

Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на інтервалі (a, b), якщо F(x) є диференційовною функцією x a, b і в усіх точках цього інтервалу справджується співвідношення F x f x .

Для первісної функції справедливі такі властивості:

1.Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на інтервалі (a, b), то F(x)+С, де С – довільна стала, також є первісною для цієї функції на цьому інтервалі.

2.Якщо F1 x та F2 x – будь-які дві первісні для функції f(x) на

одному й тому самому інтервалі, то вони відрізняються одна від одної лише на сталу величину, тобто F1 x F2 x C , звідки F1 x F2 x C . Таким чином, знаючи одну первісну функції, ми знайдемо всі інші додаванням до неї довільної сталої.

Сукупність первісних F(x)+С для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від цієї функції і позначається

f x dx F x C .

Властивості невизначеного інтеграла

1o. f x dx f x .

2o. d f x dx f x dx. 3o. dF x F x C.

4o. Cf x dx C f x dx. 5o. u v dx udx vdx.

331

Таблиця основних невизначених інтегралів

При інтегруванні функцій можливість безпосередньо використовувати основні формули надається не досить часто. Як правило, підінтегральну функцію доводиться так чи інакше перетворювати для того, щоб інтеграл звести до табличного. Нижче наведені деякі приклади таких перетворень.

332

Приклади