Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

. Рівняння дотичної:

визначити кутовий коефіцієнт дотичної: y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Приклад 5. Швидкість руху тіла пропорційна часу. Скласти рівняння руху тіла, якщо відомо, що за перші 3 секунди руху воно пройшло шлях довжиною 18 м.

Розв’язання. Згідно з умовою, швидкість руху пропорційна часу, тобто може бути подана у вигляді V kt , де k − коефіцієнт пропорційності. Знайдемо прискорення, з яким рухається тіло. Як відомо, прискорення визначається як похідна від швидкості a V k . Рух тіла рівноприскорений (прискорення є сталою величиною), тобто воно

описується

рівнянням S V t

at2

початковий момент часу t

0 ,

швидкість тіла дорівнює V0 kt0

0 .

Тоді закон руху тіла виглядає так:

kt2

. В

момент часу t 3 с

цей

шлях дорівнює S 18 м, знайдемо

значення коефіцієнта пропорційності k

− 18

k32

k 4 (м/с 2 ). Рівняння

руху тіла S 4t2 4t2 (м).

Приклад 6. Залежність шляху від часу при прямолінійному русі

	S	t5	2		t
точки задається рівнянням				sin		( t	– в секундах, S – в

		5			8

метрах). Визначити швидкість руху в кінці другої секунди. Розв’язання. Знаходимо похідну шляху за часом

					dS	t	4	1		t
									cos	.
									cos	.
					dt			4		8
	dS		1
При t 2 маємо	dS	16	1	2 16,18 . Тобто v 16,18 м/с.
При t 2 маємо	dt	16	8	2 16,18 . Тобто v 16,18 м/с.
	dt		8

Приклад 7. Заданий закон зміни кількості електрики Q , яка протікає через поперечний переріз провідника за час t : Q 2cos2t . Знайти силу струму в будь-який момент часу; при t 2 c .

Розв’язання. Сила струму в будь-який момент часу визначається як

I	dQ	4sin 2t , в момент часу	t 2 c сила струму дорівнює
	dt

I 4sin 4 0 (а).

306

Приклад 5.1.

Розв'язання.

Приклад 5.2.

Розв'язання.

Приклад 5.3.

M0 0;1 .

Розв'язання.

функції y f x :

Знайдемо похідну:

Контрольні приклади до гл. 5

Знайти похідну функції y 3 3x 7 log5 x 4x .

y x	7		.
	x
		x2

Знайти похідну функції y sin3 tg 2x 5 .

y sin2 cos tg2x 5		.

	cos2

Скласти рівняння дотичної до кривої y earcsin x в точці

Запишемо рівняння дотичної, проведеної до графіка y f f x0 x .

y x .

Приклад 5.4. Знайти диференціал функції y ctg x e 6x .

Розв'язання. Запишемо формулу

для диференціала

функції:

dy dx .

Знайдемо

y x

за

допомогою

логарифмічного

диференціювання: ln y ln ctg x

ln ctg x

sin2 x

dy ctg x e 6x ln ctg x

sin2 x

Приклад 5.5. Обчислити приблизно 30,01 0,013 . Розв'язання. Формула для наближених обчислень:

y x0 x y x0 y x0 .

Уведемо функцію y 3x x3 ,					x	x 0.01, x		0; x ,
					0		0
y x0 .		x 3	x	3x			x0 ;	0,01	3	0,01.
y x0 .	y	x 3		3x		y	x0 ;	3	0,01	0,01.

307

Приклад 5.6. Знайти другий диференціал функції y x20

cos3x .

Розв'язання. Запишемо формулу для обчислення диференціала

другого порядку: d 2 y dx2 .

y x19

sin , y x cos3x , d 2 y x cos3x .

Приклад 5.7. За допомогою правила Лопіталя обчислити границю:

lim x2 e 0.01 x .

Розв'язання.

lim x2

e 0.01 x lim

lim

x e x

e x

x e x

= lim

x e x

Лабораторна робота 5. Обчислення похідних і побудова графіків функцій у системі Maple

Завдання 1. Знайти похідні функцій, заданих явно:

	5
							x3
	y arctg 3x 5 3sin 2x	x8			y	1	x3	arccos5x ,
1)			,	2)
1)		ln 1 cos x	,	2)		1	x3
3)	y cos5x x ;

x 3 t sin t

4) знайти похідну параметрично заданої функції ;y 3 1 cost

5) знайти похідну функції, заданої неявно: x y sin(x y) 4;

6) написати рівняння дотичній і нормалі до кривої y x3 3x2 2 в точці з

абсцисою x0 1.

Виконання. Для знаходження похідних явно заданих функцій використаємо команду diff(expr,var), де expr – вираз, що диференціюється, var – змінна, за якою ведеться диференціювання.

1) > diff(arctan(3*x+5)*3^sin(2*x)+x^(5/8)/ln(1+cos(x)),x);

3sin 2x

31 3x 5 2 2arctg 3x 5 3sin 2x cos 2x ln 3

308

sin

ln2

cos

x8 ln 1

2) > diff(((1-x^3)/(1+x^3))*arccos(5*x),x);

x2 arccos

1 x3

arccos 5x x2

1 x3

1 x3 2

1 x3 1 25x2 12

3) > diff((cos(5*x))^x,x);

xsin 5x

cos 5x x

ln cos 5x 5

cos 5x

4) Для обчислення похідної параметрично заданої функції використаємо

dy dt

формулу

, позначимо

proizv.

> proizv:=diff(3*(1-cos(t)),t)/diff(3*(t-sin(t)),t);

proizv

3sin t

3 3cost

спрощуємо отриманий вираз

>simplify(proizv);

sin t

1 cost

Для одержання явного

виразу похідної функції, заданої неявно,

складемо невелику програму.

> restart;

> alias(y=y(x)): (задаємо y як функцію від x),

> expr:=sqrt(x)*y+sin(x+y)=4; (рівняння неявно заданої функції);

exp r : x 2 y sin(x y) 4 ;

> s:=diff(expr,x);

s :

x 2

cos(x y) 1

0 ;

x 2

> p:=indets(s); (ця команда перераховує всі компоненти у виразі s, що містять змінні):

309

	dy			1				1
p :	dy	,	cos x y , x, y,	1		,	x 2		,

					1
	dx
	dx			x	2
				x

оскільки вираз	dy		знаходиться в списку першим, то він сприймається


	dx
пакетом як p 1 .		Розв'яжемо рівняння s щодо змінної p 1 і присвоємо

отримане значення змінної proiz, це й буде похідна функції, заданої неявно.

> proiz:=solve(s,p[1]);

1 y 2cos x y x 2 proiz : 2 1 .

x cos x y x 2

6) У даній програмі прийняті позначення f – рівняння кривої, x0,y0		−
координати точки, через яку проходять шукані дотична і нормаль, k1		−
кутовий коефіцієнт дотичної,	k2 − кутовий коефіцієнт нормалі, k	−
df
аналітичний вираз похідної	.

dx

> restart;

> f:=x^3-3*x^2-2;

	f : x3 3x2 2 ;
> x0:=1;
	x0 := 1,
> y0:=subs(x=x0,f);	(обчислення y0 );
	y0 := -4,
>k:=diff(f,x);
	k : 3x2 6x ;
> k1:=subs(x=x0,k);	(обчислення значення похідної при x x0 );
	k1: 3,
> k2:=-1/k1;
	k 2 : 1	,
	3

> 'KASATELNAYA';(y-y0)=k1*(x-x0); (складається і виводиться рівняння дотичної):

KASATELNAYA y 4: 3x 3,

310

> 'NORMAL';(y-y0)=k2*(x-x0); (складається і виводиться рівняння нормалі),

NORMAL

				y 4 :	1	x	1	.
				y 4 :		x		.
				3			3
Завдання 2.		Методами диференціального числення дослідити
функцію f x		x3		і побудувати її графік.
функцію f x			2	і побудувати її графік.
2
2	x 1

Виконання. Дане завдання зручніше виконувати в інтерактивному режимі. Для визначення точок, у яких порушується неперервність виразу expr за змінною x, буде використана команда discont(expr,x); для побудови графіка функції буде використана команда plot([name1,name2], x=x1..x2, y=y1..y2, color=[black,black], thickness=[1,3]), де name1,name2 –

ідентифікатори або рівняння зображуваних ліній, x1..x2, y1..y2 – межі зміни змінних x і y на графіку, color[], thickness[] – параметри, що керують кольорами і товщиною зображуваних кривих. Уведено наступні позначення: f – досліджувана функція, а – масив, що містить координати точок розриву (формується автоматично при виконанні команди discont); r1, r2 – значення лівосторонньої і правосторонньої границь у точці розриву; k1, b1 – кутовий коефіцієнт і вільний член у рівнянні похилої асимптоти при x ( eqn1 – рівняння цієї асимптоти); k2, b2, eqn2 – аналогічні величини при x ; proizv – вираз похідної функції f; krit1 – масив значень критичних точок; rez1, rez2, rez3, rez4 – значення похідної на інтервалах монотонності; maximum – значення функції в точці максимуму; asymp − ідентифікатор похилої асимптоти.

> restart:

> f:=x^3/(2*(x+1)^2);		(задаємо функцію)
f :	1		x3		,
				2
2
			x 1
> a:=discont(f,x);		(знаходимо точку розриву),
a : 1 ,

знаходимо однобічні границі,

>r1:=limit(f,x=a[1],left);

>r2:=limit(f,x=a[1],right);

r1: ,

r2 : .

311

Оскільки обидві однобічні границі нескінченні, то в точці x 1 функція має розрив другого роду, тобто, x 1 − рівняння вертикальної асимптоти. Знаходимо похилі асимптоти:

> k1:=limit(f/x,x=infinity);

k1: 12 ,

> b1:=limit(f-k1*x,x=infinity);

b1: 1,

> eqn1:=y=k1*x+b1;

eqn1: y 12 x 1,

> k2:=limit(f/x,x=-infinity);

k 2 : 12 ,

> b2:=limit(f-k2*x,x=-infinity);

b2 : 1,

> eqn2:=y=k2*x+b2;

eqn2 : y 12 x 1.

Графік функції має одну похилу асимптоту при x .

>asymp:=k1*x+b1:

>proizv:=simplify(diff(f,x)); (обчислюємо похідну і спрощуємо отриманий вираз ),

proizv :

1 x2 x 3

;

x 1

> eqn3:=proizv=0;

(дорівнюємо похідну нулю),

eqn3:

1 x2 x 3

;

> solve(eqn3); (знаходимо точки, у яких похідна дорівнює нулю),

3,0,0 ;

> discont(proizv,x); (знаходимо точки, у яких похідна не існує),

1 ;

> krit1:=[-3,-1,0];	(масив критичних точок першого роду),
	krit1: 3,1,0 ;

312

інтервали монотонності функції ,3 , 3,1 , 1,0 , 0, .Визначимо

знак похідної на кожному з інтервалів.

> rez1:=subs(x=-4,proizv);

rez1: 278 ,

на інтервалі , 3 похідна додатна, тому функція зростає;

> rez2:=subs(x=-2,proizv);

				rez2 : 2 ,

на інтервалі	3, 1		похідна від'ємна, тому функція спадає;
> rez3:=subs(x=-0.5,proizv);
				rez3: 2,50000 ,
на інтервалі 1,0		похідна додатна, тому функція зростає;
> rez4:=subs(x=1,proizv);				rez4 :	1	,

				4

на інтервалі 0, похідна додатна, тому функція зростає. У точці x 3

похідна змінює знак з “+” на “-”, отже, у цій точці функція має максимум. Обчислимо значення функції в точці максимуму.

> maximum:=subs(x=-3,f);

27 max imum : 8 .

Будуємо графік функції.

>plot([f,asymp,[[-1,10],[-1,-10]]],x=-10..10,y=-10..10, color=[black,black], thickness=[2,1,1]);

313

Контрольні завдання до гл. 5

Завдання 1. У задачах – пункти “1”, “2”,”3”,”4” – знайти похідні даних функцій; у пункті “5” продиференціювати неявно задану функцію; у пункті “6” обчислити наближено за допомогою диференціала значення функції при даному значенні х; у пункті “7” розв'язати задачу.

1) y e2x arctg 2x

ln x

2) y ln5 tg 3

;

3) y ln x sin 3x ;

;

t 1

5.1.1.

5) xy sin x sin a 0;

6) y x

x 2,03.

;

7) Написати рівняння дотичної до кривої y=xlnx , що паралельна

прямій

y−x−5=0.

1) y (x2

2x 3)e3x

; 2) y 5arcsin2 ( x3 x 1);

3) y cos3x x ;

5.1.2.

ln x

x a(t sin t),

5) y3 sin x a2 cos 2x 5a;

x ,

x 1,12.

6) y ex

y a(1 cost);

7). Написати рівняння нормалі до кривої y=x−1/x,

яка паралельна

прямій 2y+x+3=0.

1) y x tg 3x	5x

		7x

5.1.3.x ln 1 t2 ,

y t arctg t;

; 2) y arccos	2		x			3) y sin 3x		ln x
		ln			;				;
		ln	1 x	2	;				;
			1 x
5) y2 2xy sin(x y) cos a;							6) y e2 x ,	x 1,97.

7) Записати рівняння дотичної до кривої y 2 x , яка перпендикулярна до прямої y – 4x – 4=0.

1) y

e2x cos3x sin 3x

2) y sin

cos3x ;

3) y

;

sin

;

ln x

5.1.4.

x t ln t,

t 1

5) x

; 6) y

x 2 ,

x 3,011.

;

sin t

314

5.1.5.

5.1.6.

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої

в точці

з абсцисою x0=−1.

2x 3

2) y ln3 x 3tg 3x ;

3) y sin x x ;

1) y x 3 arccos 2x

;

tg 3x

x a cos

5)sin(x y) cos(x y) sin a;6) y arcsin 3x, x 0,05.

bsin3 t;

7) Записати рівняння дотичної до кривої

x2 3x 6

в точці з

абсцисою x0=3.

3 ln

1 x

1) y

x cos x

;

2) y ecos

;

3) y xsin x ;

arcsin 2x

x a cost,

5)x y yx ;

6) y arctg x,

x 0,98.

bsin t;

7) Записати

рівняння

дотичної

до

кривої

, що

1 x2

перпендикулярна прямій у=2x.

1) y 3sin2 ln x ;	2) y	x2e2x	;	3) y xcos 2 x ;
		arctg 2x

5.1.7.

x 4 t

5)cos(xy) sin(xy);

6) y 2x 3,

x 2,08.

t t3

;

Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої

1 3x2

точці з абсцисою x0=1.

1) y

x cos 4x

; 2) y sin5 4arctg 2 x ;

3) y cos 2x tg 2 x ;

1 tg 4x

5.1.8.

x t 1 sin t ,

5) yex tg xy ea ;

6) y ln x,

x 1,13.

t cost;

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=xcosx, яка перпендикулярна прямій y+x+3=0.

315

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx