Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2721 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Приклад 13. Дослідити збіжність невласного інтеграла

1 ln 32

3x 7

Розв'язання. Підінтегральна функція є величиною того ж порядку

малості, що й

тому що

lim

3x 7 ln 32

3x 7

2x 1 ln 32

3x 7 ln 32 3x 7

3x 7

тобто

1 ln

2 3x 7

7 ln

2 3x 7

Розглянемо

d ln 3x 7

3x 7 ln 32 3x 7

32 3x 7

3 ln 12 3x 7

3 ln 10

1 ln

Отже, інтеграл збігається. Звідси, завдяки граничній ознаці

порівняння, випливає збіжність досліджуваного інтеграла.

Приклад 14. Дослідити збіжність інтеграла

1 dx

e x

2 x2

Розв'язання.

Досліджуємо

підінтегральну

функцію

f x

в околі точки x

0 . Оскільки

e x e x

ex e x

x sh x

sh x

ex e x

2sh x

2 2

sh x

Розкладемо

за

формулою

Маклорена

sh x x

...

x2n 1

...

(2n 1)!

Тоді x sh x ~

x3, sh x ~ x,

x 0 .

Таким чином,

x sh x 0 x3

x sh x

0 x2 .

ex e x

2sh x

sh x ~ x

466

Отже, в околі точки x 0 підінтегральна функція є обмеженою (при

x 0 підінтегральна функція наближається до

2 1 .

При

Отже,

інтеграл

збігається.

Приклад 15. Дослідити збіжність інтеграла

I 2

x ln ln x

Розв'язання. Ми маємо невласний інтеграл I роду

d ln x

ln x t

x e2 , t ln e2 2

e2 x ln ln x

e2 ln ln x

x , t

2 ln t

Оскільки ln t t

при t 2 , звідси випливає нерівність

ln t

Досліджуваний інтеграл розбігається за ознакою порівняння, тому

що

розбігається.

Приклад 16. При яких значеннях k збігаються інтеграли

2 xk ln x

2 x ln x k

Розв'язання

Розглянемо інтеграл I1 .

а) Нехай k<0, тоді оскільки ln x x при x , то

xk ln x

xk 1

Оскільки

розбігається

при

k+1 1,

тобто

при k 0 ,

то

k 1

2 x

досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння розбігається при k 0 .

б)

Якщо

0 k 1,

то

при

x 1,

xk x , Отже,

xk ln x

x ln x

d ln x

Інтеграл

же

тобто

розбігається.

Тому

x ln x

ln x

досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння також розбігається.

467

	в) Нехай k>1. Порівняємо підінтегральну функцію з						1	:
	в) Нехай k>1. Порівняємо підінтегральну функцію з						xk	:
							xk
	1		1		xk	0 , тобто підінтегральна
lim		:		lim			функція спадає
lim		:		lim			функція спадає
x xk ln x			xk	x xk ln x

швидше, ніж

, (k>1).

Оскільки інтеграл

збігається

при k 1,

2 x

звідси випливає збіжність інтеграла I1

при k 1.

Остаточно маємо, що

çá³ãàº òüñÿ

ï ðè k 1,

ðî çá³ãàº òüñÿ ï ðè

k 1.

Оскільки

lim

ln x

при будь-якому як завгодно малому

0 , а

x x

інтеграл

збігається при

k 1, звідси випливає збіжність інтеграла (1)

2 x

при k 1.

Дослідимо збіжність I 2 .

За визначенням

lim

d ln x

2 x ln x k

k 1

lim

ln x

lim

1 k

ln A

1 k ln 2

k ln 2

A k 1

k 1

при

k 1;

при k 1 інтеграл розбігається (перевірити при k 1 самостійно).

çá³ãàº òüñÿ ï ðè k 1,

ðî çá³ãàº òüñÿ ï ðè

k 1.

21 cos x

Приклад

17.

При яких значеннях

інтеграл

збігається?

Розв'язання.

Особлива

точка

підінтегральної

функції

x 0 .

Оскільки 1 cos x ~

1 cos x

звідси випливає

x 0 2

xm 2

468

2 dx		при 1. Отже,
Невласний інтеграл ІІ роду	збігається

0 x
досліджуваний інтеграл буде збігатися при m 2 1		або m 3; при m 3
інтеграл розбігається.

Приклад 18. Дослідити збіжність	інтеграла	sin x2dx (інтеграл
		1

Френеля).

Розв'язання. В раніше наведених прикладах невласних інтегралів, що збігаються, підінтегральна функція наближається до 0 при x .

Але ця умова не є необхідною. Дійсно, sin x2dx збігається, хоча при як

завгодно великих х підінтегральна функція коливається між –1 та +1. Використовуючи підстановку x t і потім інтегруючи частинами,

отримаємо:

sin

cost |1

cost

cos1

cost

sin x2dx =

dt .

2 t

t3 2

Оскільки

cost

, досліджуваний інтеграл збігається.

t3 2

Приклад 19. Дослідити збіжність і обчислити інтеграл

arctg x

dx .

1 x2

3 2

Розв'язання.

Підінтегральна функція є

нескінченно

малою

p 3

arctg x

величиною порядку

відносно

Оскільки

1 x2 3 2

p 3 1

збігається,

то звідси випливає збіжність досліджуваного

1 x

інтеграла.

469

8.2. Невласні інтеграли другого роду (інтеграли від необмежених функцій)

Нехай функція

f x

визначена на півінтервалі a,b , інтегрована на

відрізку

a,b ,

де

0 b a

lim

f x . Точка b називається

x b 0

при цьому особливою точкою функції

f x .

Тоді якщо існує

lim

f x dx ,

y=f(x)

то його

називають

невласним

інтегралом другого роду, позначають

f x dx і

говорять,

що

інтеграл

збігається, якщо

b	f x dx lim		b
	f x dx lim		f x dx .
a	0		a
Якщо ж границя дорівнює нескінченності або взагалі не існує, то
інтеграл розбігається.
Якщо особливою точкою функції		f x є точка х=а, то
b			b
f x dx lim			f x dx .
a	0		a 1
a	1		a 1
	1
Якщо C a,b є особливою		точкою функції		f x , то за
b	C		b
властивістю аддитивності f x dx f x dx f x dx і
a	a		C

b	f x dx lim	Ñ 1	x dx
		f		lim
a	0	a		2	0
	1

f x dx .

ñ 2

C	b
Якщо хоча б один із інтегралів f x dx або	f x dx розбігається,
a	C
b
то невласний інтеграл f x dx також розбігається.
a

470

Приклади.

b	dx
1. Дослідити на збіжність невласний інтеграл
		.

a	x a

Розв'язання. Підінтегральна функція в точці x a має нескінченний розрив.

а) 1. За визначенням невласного інтеграла маємо:

b		dx			b	dx					1			1		b
b					b

				lim			lim						x a
				lim			lim				1		x a			a
a	x a			0 a x a				0			1					a
a	x a			0 a x a							1		1
											1		1
	1		lim b a 1 1									b a			,	1 çá³ãàº òüñÿ,
	1									1		b a			,	1 çá³ãàº òüñÿ,
										1
	1		0
	1		0									1 ðî çá³ãàº òüñÿ.
									,			1 ðî çá³ãàº òüñÿ.

б) 1.

чином, інтеграл

b	dx	lim b		dx	lim ln b a ln lim			, таким
		lim b			lim ln b a ln lim			, таким
	x a
a	x a		0 a x a		0		x
розбігається.
	b		dx	çá³ãàºòüñÿ , ïðè 1,
			dx	çá³ãàºòüñÿ , ïðè 1,

	a x a					1.
	a x a			ðîçá³ãàºòü ñÿ, ïðè		1.

1 dx

Зокрема, 0 x при 1 збігається; при 1 розбігається.

2. Обчислити невласний інтеграл другого роду

1		dx		1		dx		1	lim arcsin 1 arcsin 0

			lim				lim arcsin x
								0		2
	1 x2				1 x2
0			0	0			0		0

(інтеграл збігається).

Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду для невід'ємних функцій

Теорема 1. (Ознака порівняння).			x a,b , за винятком
Якщо функції	f x і	g x неперервні	x a,b , за винятком
скінченного числа точок, причому 0 f x g x , x a,b , то:
b		b
а) якщо g x dx збігається, то і f x dx збігається;
a		a
b		b
б) якщо f x dx розбігається, то і g x dx розбігається.
a		a

471

cos

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла

dx .

Тут 0

cos2 x

Оскільки інтеграл

збігається,

то і даний інтеграл, за ознакою порівняння, збігається.

Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).

Якщо функції

f x

і g x невід'ємні,

неперервні x a,b і

зазнають нескінченний розрив у точці x b ;

lim

f x

0 ,

g x

x b 0

то невласні інтеграли від обох функцій збігаються або розбігаються водночас.

Приклади

1. Розглянемо J

; особлива точка x 1. Інтеграл

x ln x

розбігається, оскільки

d ln x

ln x |21 lim ln ln 2 ln ln 1 .

J lim

lim ln

ln x

exdx

2. Дослідити збіжність інтеграла

3 1 x3

Розв'язання

Підінтегральна функція

має особливу точку

x 1.

Порівняємо з

інтегралом, що збігається, тобто з інтегралом

. Тоді

1 x

ex 3

1 x3

1 x

lim

3 3

x 1 0

x 1 0 3

1 x

3 1 x x2

3 1 x

Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла.

x sin x

472

Розв’язання. Особлива точка

x 0 .

Оскільки

знаменник

підінтегральної

функції

x sin x ~

x ,

то

виберемо

x 0

g x

1 .

Оскільки

lim

x sin x

lim

звідси

x 0

x sin x

x 0

випливає збіжність досліджуваного інтеграла, тому що

збігається.

Невласні інтеграли другого роду від знакозмінних функцій

досліджуються аналогічно невласним інтегралам першого роду.

1 sin

4. Дослідити збіжність інтеграла

dx .

sin

Розв'язання.

Розглянемо

dx .

Тут

звідси випливає абсолютна збіжність невласного інтеграла.

1ln x

5.Розглянемо I 0 1 x2 dx .

Розв'язання. Оскільки

ln x 0

при 0 x 1,

то подамо вихідний

ln x

інтеграл у вигляді I

dx . Особливі точки підінтегральної функції

1 x

x 0

і x 1 належать проміжку 0;1 . Знайдемо

ex 3

lim

1 x3

lim

1 x

3 1 x x2

x 1 0

x 1 0 3

1 x

3 1 x

lim

ln x

lim

. Отже, підінтегральна функція обмежена в

1 x2

x 1 0

473

околі точки x 1.

Обчислимо при 0 1

ln x

lim 1 x2 lim

lim ln x x

lim

ln x

lim

x 0

x 0 1

x 0

x 0 x

x 0 x 1

lim

0 .

x 0

Підінтегральна функція в околі точки x 0 має порядок зростання

нижче, ніж нескінченно велика

в цьому околі функція

( 0 1),

Отже, досліджуваний інтеграл збігається.

6. Дослідити збіжність інтеграла xm ln x

dx .

ln t

Розв'язання.

I xm ln xdx

x 0

dt .

m 2

x 1

t 1

ln t

–

невласний інтеграл першого роду. При m 2 1,

тобто при

m 2

m 1,

цей

інтеграл

збігається,

при

m 2 1, тобто

при

m 1,

–

розбігається, бо в цьому випадку

ln t

tm 2

7. J x p 1e xdx x p 1e xdx x p 1e xdx , 0 a .

Розв'язання. При x 0

p 1 x

. Перший з інтегралів у

1 p

правій частині рівності буде збігатися за умови 1 p 1,

тобто при p 0

(як невласний інтеграл другого роду). При x підінтегральна функція f x x p 1e x 0, оскільки експоненціальна функція спадає швидше, ніж

474

sin x

будь-яка функція

вигляду

1 . Тому

другий

інтеграл

збігається

p R . Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла при

p 0 .

8. Обчислити невласний інтеграл

0 1

x2 2 1 x2

Розв'язання. x 1 – особлива точка, підінтегральна функція

1 x

2 1

1 x

1 x 1 x

2 x 1

інтеграл збігається, оскільки інтеграл a

при

1 збігається.

b x

Замінюємо x sin t , тоді dx costdt .

z tg

cost

1 z2

costdt

1 z2

I 0

cos2 t 2cost

cost 2

2dz

1 z2

1	dz				1		dz		2		z	1	2
1	dz				1		dz		2		z	1	2
= 2					2					arctg					.
		1 z	2				2	3
			2			z	2	3	3		3		3 6	3 3
0 1 z2				2	0							0
0 1 z2	1 z2			2	0
	1 z2

9. Дослідити збіжність інтеграла

Перший спосіб

			u ln sin x		dv	dx
ln sin x
		dx					x
							x

	x
				cos xdx
			du	cos xdx	v 2 x
			du	sin x	v 2 x
				sin x

2 2 x cos xdx .

I 2 ln sin xdx .

0 x

			2 2
2		ln sin x		2		cos x	dx

	x				x

			0	0		sin x

x cos x

Тут lim ln sin x x 0

(перевірити), а

. Отже,

x 0

sin x

x 0

інтеграл збігається.

475

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2721 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx