Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2720 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

7.16.7. Знайти координати центра ваги однорідної фігури, що

обмежена параболами x2 20 y,		y2 20x .
7.16.8. Знайти координати		центра ваги однорідної пластини, що
обмежена лініями y cos x,	y x2		2
			.
			4
7.16.9. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, що обмежена
кривою ay2 x3 і прямою x a		a 0 .

7.16.10.Обчислити момент інерції кола радіуса R відносно осі, що знаходиться з нею в одній площині і віддалена від її центра на відстань b

(b>R).

7.16.11.Знайти момент інерції однорідної параболічної пластини висоти h щодо основи а, якщо пластина обертається зі сталою кутовою

швидкістю навколо осі.

7.16.12. Знайти центр ваги плоскої фігури, що лежить у першому

квадранті та обмежена еліпсом	x2	y2	1, колом	x2 y2 a2 і віссю Оу.
	a2	b2

7.16.13.Обчислити момент інерції сектора радіуса r, що відповідає центральному куту , відносно одного з крайніх його радіусів.

7.16.14.Знайти центр ваги пластини, що має форму сегмента (R,h).

7.16.15.Знайти момент інерції тіла, обмеженого даними поверхнями, при обертанні навколо осі Oz.

x2 y2 2z, x2 y2 z2 6z 0 .

7.16.16. Знайти координати центра ваги півкола радіуса r.

7.16.17.Знайти момент інерції кулі (радіуса а і маси М) відносно її

діаметра.

7.16.18.Знайти центр ваги півкола, користуючись теоремою

Гульдіна.

7.16.19. Знайти статичний момент кола	r 2a sin		відносно
полярної осі.
7.16.20. Знайти момент інерції еліпса b2 x2 a2 y2		a2b2	відносно
однієї з його осей.
7.16.21. Визначити положення центра	ваги	дуги	астроїди
x 23 y 23 a 23 , що лежить в першій чверті.

7.16.22. Знайти центр ваги однорідної півкулі радіуса R.

456

7.16.23.Знайти координати центра ваги однорідної фігури, обмеженої замкненою лінією y2 x2 x4 , x 0.

7.16.24.Обчислити момент інерції півкола радіуса R відносно його

діаметра.

7.16.25.Знайти момент інерції кругового конуса з радіусом основи R

івисотою H відносно площини основи цього конуса.

7.16.26.Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої осями

координат і параболою x y a .

7.16.27.Знайти центр ваги чверті кола x2 y2 R2 , що розташоване

впершому квадранті.

7.16.28.Знайти момент інерції квадрата зі стороною а відносно його

вершини.

7.16.29.Знайти координати центра ваги однорідної пластини,

обмеженої параболою ay z2

і прямою y a

a 0 .

7.16.30. Знайти координати центра ваги плоскої однорідної пластини, що обмежена колом x2 y2 R2 і двома радіусами y 0 і y xtg .

457

Глава 8. Невласні інтеграли, питання їх збіжності

Дотепер при розгляді визначених інтегралів передбачалося, що проміжок інтегрування скінченний і підінтегральна функція обмежена на цьому проміжку. Якщо ж ці умови не виконуються, то кажуть про невласні інтеграли, що є узагальненням визначеного інтеграла для цих випадків.

8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (І роду) та їхнє обчислення

Нехай функція f(x) визначена на нескінченному проміжку a, і інтегрована в будь-якій скінченній його частині a, A A a . Тоді якщо

A		x dx , то цю
існує lim	f	x dx , то цю		границю	називають невласним інтегралом
A a							f x
І роду або інтегралом на нескінченному проміжку a, від функції							f x

і позначають	f x dx . Таким чином,
	a

					A
			f x dx lim		f x dx	.
			a	A a

У випадку, якщо межа існує і скінченна, невласний інтеграл збігається. Якщо ж границя нескінченна або взагалі не існує, то невласний інтеграл не існує, або розбігається.

Аналогічно вводиться поняття інтеграла по нескінченному проміжку

, a , тобто	a		a
, a , тобто	f x dx	lim	f x dx .
		B B
Невласний інтеграл з обома нескінченними границями визначається
	a
рівністю f x dx	f x dx	f x dx , де а – будь-яке число. При цьому
		a

передбачається існування обох інтегралів, що стоять праворуч.

458

Геометричний зміст невласного інтеграла

Якщо

f x

і непереривна

x a, A , то

визначений

інтеграл

f x dx

геометрично

являє

собою

площу

криволінійної

трапеції,

y f x

обмежену

віссю

Оx, кривою

прямими

x a

x A.

При

зростанні A A

пряма

x A

переміщується вправо. Якщо невласний

y=f(x)

інтеграл

f x dx

збігається,

то

його

величину

приймають

за

площу

нескінченної криволінійної трапеції.

Приклад 1

sin A sin 0

cos xdx

lim

cos xdx lim sin x A

lim

lim sin A.

Інтеграл розбігається, оскільки

lim

sin A не існує.

Приклад 2

Розглянемо

a xdxp

a 0 . Дослідимо,

при

яких

значеннях

інтеграл збігається.

Розв'язання

а) p 1. За визначенням знаходимо

lim

ln x

lim

ln A ln a ,

A a x

інтеграл розбігається;

б)

p 1;

lim A1 p a1 p ,

lim

x pdx

lim

x1 p

x p

1 p

p A

інтеграл розбігається;

в)

p 1.

a1 p

При p 1

lim A1 p 0

і тоді

, тобто збігається.

p 1

459

Отже, невласний інтеграл

	1 p
dx		a	, p 1,	çá³ãàºòüñÿ ,
dx			, p 1,	çá³ãàºòüñÿ ,
	p 1
a x p	p 1
a x p	,		p 1,	ðîçá³ãàºòü ñÿ.

Геометрично це означає, що при p 1 функція					1	наближається до

					x p
					x p

нуля при x настільки швидко, що площа нескінченної криволінійної трапеції виявляється скінченною.

Приклад 3

		A				A			e A e0 1,збігається.
e xdx	lim	e xdx		lim e x		A	lim		e A e0 1,збігається.
0	A	0		A		0	A
						0
Узагальнена формула Ньютона-Лейбниця
Нехай f x			– неперервна на a,				функція, а			F x – первісна для
f x , тоді
			A	x dx	lim F x			A		F A F a
			A
f x dx			lim f						lim
a			A a		A			a	A
a			A a		A				A

F F a F x a .

Тут F lim F A ; скористуємося для стислості умовним записом

			x dx F x		F F a .

	f
	a				a
	a
	dx
	dx
Приклад 4			arctg x	1					.
Приклад 4		2	arctg x						.
1 1 x		2				2	4	4
1 1 x						2	4	4

Для невласних інтегралів має місце формула заміни змінної. Часто в результаті заміни змінної інтегрування невласний інтеграл зводиться до визначеного.

Приклад 5

	dx	x tg z
		x tg z
			dz

	1 x2 2	dx
0	1 x2 2	dx	2
			cos z

2 cos4 z dz

0 cos2 z


2	1 cos2z		1		sin 2z
		dz		z		2		.
	2	dz	2	z		2	4	.
0	2		2		4	0	4
0						0

460

arctg x dx

Приклад 6. I

3 2

0 1 x2

Розв'язання Припускаючи t arctg x , знаходимо

dt ,

x tgt ;

1 x2

cost

. Межі інтегрування для змінної t: при x=0 маємо t=0; при

1 x2

x ,t . Одержимо

u t

dv costdt

t sin t cost

0 2

1 .

t cost dt

du dt v sin t

Невласні інтеграли, що збігаються, мають усі основні властивості визначених інтегралів. При розгляді невласного інтеграла насамперед необхідно з'ясувати, чи буде він збігатися. Питання про збіжність може бути вирішене або безпосереднім обчисленням невласного інтеграла, або за допомогою спеціальних ознак збіжності.

Приклад 7. Дослідити збіжність інтеграла

d ln x

ln x 12

lim

2 .

e x ln x

A e

ln x 32

ln A

ln e

Випливає, інтеграл збігається.

У багатьох задачах, пов'язаних з невласними інтегралами, досить тільки з'ясувати питання про збіжність інтегралів, і не потрібно знаходити його значення. У цьому випадку, як правило, використовуються наступні ознаки збіжності.

Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду для невід'ємних функцій

Зауваження. Збіжність невласного інтегралу першого роду залежить від поводження функції на нескінченності, тобто якщо b a , то невласні


інтеграли f x dx і	f x dx збігаються чи розбігаються одночасно.
a	b

461

Теорема 1. (Ознака порівняння).

Нехай при досить великих x виконується нерівність 0 f x g x .

Тоді зі збіжності

інтеграла

g x dx

випливає

збіжність

інтеграла

f x dx ,

розбіжності

інтеграла f x dx

випливає розбіжність

інтеграла

g x dx .

Приклад 8. У теорії імовірності важливу роль відіграє інтеграл

Пуассона

e x2 dx . Дослідити його на збіжність.

Розв'язання

Невласний

інтеграл

не

береться

елементарних

функціях.

Порівняємо цей інтеграл з інтегралом, що збігається:

e x dx (приклад 3).

x , тоді e x2

При x 1 маємо x2

e x . Отже,

e x2 dx e x dx .

x dx

x2 dx .

Зі збіжності інтеграла e

випливає збіжність інтеграла e

Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).

Якщо

існує

lim

f x

0 ,

то

невласні

інтеграли

x g x

f x dx і

g x

dx збігаються чи розбігаються одночасно.

Приклад 9. Дослідити на збіжність

1 x2

Розв'язання

Підінтегральна функція

f x

при

x є нескінченно

x 1 x2

малою величиною порядку

Виберемо

g x

. Оскільки інтеграл

462

p 2 1

збігається, то за ознакою порівняння в граничній формі

1 x2

маємо

lim

Отже,

інтеграл

1 x2

1 x

1 x2

збігається.

Невласні інтеграли від знакозмінних функцій

f x

Теорема

(достатня ознака

збіжності).

Нехай функція

f x

визначена x a . Тоді

якщо

збігається, то збігається

інтеграл f x dx .

Невласний інтеграл f x dx називається абсолютно збіжним, якщо

збігається

f x

dx . Невласний інтеграл

f x dx

називається таким, що

умовно збігається, якщо він збігається, а інтеграл

f x

dx розбігається.

sin x

Приклад 10.

Покажемо,

що інтеграл

збігається

sin x

p 2 1

абсолютно. Дійсно,

оскільки

, а інтеграл

збігається, то через ознаку порівняння досліджуваний інтеграл абсолютно збігається.

sin x

Приклад 11. Дослідити збіжність інтеграла dx .

1 x

Розв'язання. Ознаку порівняння застосувати безпосередньо не можна. Для доказу збіжності інтеграла застосуємо метод інтегрування частинами:

463

sin x

; du

cos x

sin xdx dv;v cos x

cos x

cos1

dx .

Застосовуючи тепер ознаку порівняння, одержимо

cos x

p 2 .

Інтеграл збігається.

Отже,

sin x

dx збігається. Покажемо тепер, що інтеграл

sin x

dx розбігається,

тобто досліджуваний інтеграл збігається умовно.

1 більше свого

2 ,

Дійсно, оскільки число

квадрата,

тобто

то

sin x

sin 2 x

Застосовуючи

ознаку

порівняння,

досить

довести

розбіжність

sin

dx . Але sin 2 x

1 cos2x , а

інтеграла

1 cos2x

dx .

Збіжність інтеграла

cos2x

dx доводиться інтегруванням частинами,

але

p 1

sin x

інтеграл

розбігається.

Тому

інтеграл

dx також

розбігається.

Приклад 12. Обчислити інтеграл, встановивши його збіжність:

x ln x

dx .

1 x2 3

464

Розв'язання. х=0 – особлива точка, оскільки lim ln x . З'ясуємо

x 0

поводження функції

f x

x ln x

при x 0:

1 x2 3

x ln x

ln x

lim

за правилом

Ëîï³òàëÿ

lim

1 x2 3

x 0

Отже, при

x 0

підінтегральна функція

є обмеженою.

Дослідимо

поводження функції на нескінченності. Оскільки при x ln x x , то

x ln x

1 x2 3

Оскільки 1 x4 збігається, то збігається і досліджуваний інтеграл.

Інтегруємо частинами. Нехай u ln x , тоді

								dx								xdx															1											3																				1
				du				dx	,	dv						xdx											,	v			1			1				\| x2									d 1 x2															1				.
				du				x	,	dv			1 x2 3														,	v			2			1				\| x2									d 1 x2												4 1 x2						2	.
								x					1 x2 3																		2																												4 1 x2						2
				Знайдемо первісну:																																																				1 x2 x
				F x							ln x										1								dx												ln x									1						1 x2 x							2	dx
				F x					4 1 x2				2								4					x 1 x2						2					4 1 x2										2				4						x 1 x2 2							dx
											ln x										1								dx				1									x															ln x
																									x 1 x2																								dx
									4 1 x2				2								4				x 1 x2								4						1 x2 2										dx							4 1 x2 2
			1			1 x2 x2dx																	1											ln x									1									1		ln 1 x2											1
								x 1 x2												8 1 x2																											ln x																8 1 x2				.
			4					x 1 x2												8 1 x2												4 1 x2								2			4				ln x						8										8 1 x2				.
																																															ln 1 x2
Знайдемо							lim		F x lim																				ln x							1		ln x						1															1
Знайдемо							lim		F x lim																		4 1 x				2 2							ln x																				8 1 x
							x 0							x 0																	2 2				4								8																			2
																																								2								ln x 1
	1 1														1													1 1								x	2					x			2
	1 1														1													1 1								x						x
																																									1 x
					lim							1 x																				lim									1 x					2
					lim			ln x 1									2				2											lim														2									8
	8 4 x 0																2											8 4 x 0																											8
	2	lim				x2 ln x					0						1							1			lim			ln x					1						1	lim										1								1	.
	2																1							1						ln x					1						1											1								1

	4 x 0																	8 2 x 0 x 2																	8 2 x 0 x 2 x 3																								8
	4 x 0																	8 2 x 0 x 2																	8 2 x 0 x 2 x 3																								8
lim			F x 0 .Отже, I																1			.
lim			F x 0 .Отже, I																			.
x																	8

465

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2720 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx