Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y arccos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
7.9.23. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9.24. y 1 ln sin x, |
x |
|
|
||||||||||||
|
|
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.9.25. y ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2, |
ln |
|
3 x ln 8 . |
7.9.26. y ln x, |
|
3 x 15 . |
|
|
|||||||||||||||||||
7.9.27. y |
x2 |
|
ln x |
|
1 x 2 . |
7.9.28. y 6 ex , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
, |
ln |
|
8 x ln 15 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.9.29. y 3 ex e x / 2, |
0 x 2 . |
7.9.30. y 1 ln cosx, |
0 x |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||
Завдання 10. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в полярних координатах.
7.10.1. 2 1 sin , |
|
|
0 . |
|
7.10.2. 3 1 sin , |
0 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7.10.3. 4 1 cos , |
|
|
. |
7.10.4. 12e12 5 , |
0 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
7.10.5. 4e4 3 , |
|
|
|
. |
|
7.10.6. 3 1 cos , |
|
0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
7.10.7. 21 1 sin , |
|
. |
|
7.10.8. 1 sin , |
0 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
7.10.9. 7e7 12 , |
0 |
. |
|
7.10.10. |
|
e2 , |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
7.10.11. |
|
e , |
0 |
|
. |
|
7.10.12. 6e12 5 , |
0 |
. |
||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
7.10.13. 8 1 cos , |
|
2 |
|
0 |
. |
7.10.14. 3cos , |
0 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
7.10.15. 6sin , |
0 |
|
. |
|
7.10.16. 11 , |
|
0 |
8 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||
7.10.17. 3e3 , |
|
|
|
. |
|
7.10.18. 7e7 3 , |
0 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
7.10.19. 2sin , |
0 |
|
2 |
. |
|
7.10.20. 3 , |
0 |
4 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||
7.10.21. 5 1 cos , |
|
0 . |
|
7.10.22. a sin 3 |
, |
0 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
7.10.23. a , |
0 2 . |
|
|
|
7.10.24. a 1 cos , |
0 2 . |
|||||||||||||||||||||
446
7.10.25. |
1 |
, |
|
1 |
|
2 . |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
7.10.27. 4 , |
0 |
3 |
. |
|
||||||
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.10.29. |
|
|
e2 , |
|
|
|
. |
|||
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
Завдання |
11. |
Обчислити |
||||||||
параметрично.
x 5 t sin t ,
7.11.1.y 5 1 cost ,
0 t .
x 3 2cost cos2t ,
7.11.3.y 3 2sin t sin 2t ,
0 t 2 .
|
|
3 |
t, |
|
x 10cos |
||
7.11.5. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 10sin |
t, |
|
|
|
||
0 t 
2.
x 3 t sin t ,
7.11.7.y 3 1 cost ,
t 2 .
x 3 cost t sin t ,
7.11.9.y 3 sin t t cost ,
0 t 
3.
|
|
3 |
t, |
|
x 6cos |
||
7.11.11. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 6sin |
t, |
|
|
|
||
0 t 3.
x 2,5 t sin t ,
7.11.13.y 2,5 1 cost ,
2 t .
7.10.26. asec2 |
, |
|
0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
7.10.28. 6cos , |
|
|
0 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7.10.30. 2e4 3 , |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
довжини |
дуг |
кривих, |
|
що |
задані |
|||||||||||||
|
x 4 cost t sin t , |
|
||||||||||||||||
7.11.2. y 4 sin t t cost , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 t 2 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
|
2 sin t 2t cost, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.11.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 t |
cost 2t sin t, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t . |
|
||||||||
|
|
t |
cost sin t , |
|
||||||||||||||
|
x e |
|
|
|
||||||||||||||
7.11.6. |
|
|
|
|
|
cost sin t , |
|
|||||||||||
|
|
|
t |
|
||||||||||||||
|
y e |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 t . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
x |
|
|
cost |
|
|
|
cos2t, |
|
|||||||||
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||
7.11.8. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
sin t |
|
|
|
sin 2t, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
2 t 2 3. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
2 sin t 2t cost, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.11.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y 2 t |
cost 2t sin t, |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 3. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
cost |
|
sin t , |
|
||||||||
|
|
x e |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.11.12. |
|
|
|
|
|
|
cost sin t , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||
|
|
y e |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 t . |
|
||||||||||||
x 3,5 2cost cos2t ,
7.11.14.y 3,5 2sin t sin 2t ,
0 t 
2.
447
x 6 cost t sin t ,
7.11.15.y 6 sin t t cost ,
0 t .
|
|
3 |
t, |
|
x 8cos |
||
7.11.17. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 8sin |
t, |
|
|
|
||
0 t 
6.
x 4 t sin t ,
7.11.19.y 4 1 cost ,
2 t 2 
3.
x 8 cost t sin t ,
7.11.21.y 8 sin t t cost ,
0 t 
4.
|
|
|
3 |
t, |
|
x 4 cos |
|||
7.11.23. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 4 sin |
t, |
||
|
|
|||
|
|
6 t 4. |
||
x 2 t sin t ,
7.11.25.y 2 1 cost ,
0 t 
2.
x 2 cost t sin t ,
7.11.27.y 2 sin t t cost ,
0 t 
2.
|
|
3 |
t, |
|
x 2cos |
||
7.11.29. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y 2sin |
t, |
|
|
|
||
0 t 
4.
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
2 sin t 2t cost, |
|||
|
|
|
||||
7.11.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y 2 t |
cost 2t sin t, |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
0 t 2. |
||
|
t |
cost sin t , |
||||
|
x e |
|
||||
7.11.18. |
|
|
cost sin t , |
|||
|
t |
|||||
|
y e |
|||||
0 t 2 .
x 2 2cost cos2t ,
7.11.20.y 2 2sin t sin 2t ,
0 t 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
2 sin t 2t cost, |
|||
|
|
|
||||
7.11.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y 2 t |
cost 2t sin t, |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
0 t 2 . |
||
|
t |
cost sin t , |
||||
|
x e |
|
||||
7.11.24. |
|
|
cost sin t , |
|||
|
t |
|||||
|
y e |
|||||
|
|
|||||
0 t 3 
2.
x 4 2cost cos2t ,
7.11.26.y 4 2sin t sin 2t ,
|
|
|
0 t . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
2 |
2 sin t 2t cost, |
|||
|
|
|
||||
7.11.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y 2 t |
cost 2t sin t, |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
0 t 3 . |
||
|
t |
cost sin t , |
||||
|
x e |
|
||||
7.11.30. |
|
|
cost sin t , |
|||
|
t |
|||||
|
y e |
|||||
|
|
|||||
6 t 
4.
Завдання 12. Обчислити об’єми тіл, що обмежені поверхнями.
7.12.1. |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1, |
|
z 0, |
z 4 . |
7.12.2. |
x2 |
|
y2 |
z2 1, z 0, z 2 . |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
9 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
9 |
|
|
|||
7.12.3. |
x 2 |
y 2 |
1, z |
|
y |
|
, z 0, y 0 . |
7.12.4. z x2 9 y2 , |
z 6 . |
|||||||||
27 |
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
448
7.12.5. z x2 3 y2 , |
z 1 . |
|
7.12.6. |
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
z2 |
1, z 0, z 6 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
9 |
|
|
|
|
|
196 |
|
|
|||||||||
7.12.7. |
x 2 |
|
y 2 |
|
z 2 |
1, z 0, z 3. |
7.12.8. |
x2 |
y2 |
1, z y, z 0, y 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
9 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.12.9. z x2 3y2 , z 1. |
|
7.12.10. |
x2 |
|
y2 |
|
z2 1, z 0, z 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.12.11. |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
1, |
z 20 . |
7.12.12. z x2 |
9 y2 , |
z 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
25 |
9 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.12.13. |
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
1, z |
y |
|
, z 0, y 0 . 7.12.14. x2 |
|
y2 |
|
z2 1,z 0,z 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
27 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.12.15. |
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
z 2 |
|
1, z 2, z 3. |
7.12.16. z 7 x2 |
4 y2 , |
z 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
16 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.12.17. |
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
1, z 0, z 7 . |
7.12.18. |
|
|
|||||
49 |
25 |
|
|
|
||
7.12.19. z 9x2 y2 , |
z 3 . |
7.12.20. |
||||
7.12.21. z x2 9 y2 , |
z 4 . |
7.12.22. |
||||
7.12.23. x2 y2 4,z y,z 0, y 0 . 7.12.24. x2
4
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
z 2 |
|
1, z 2, z 0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
25 |
|
9 |
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z 2 |
1, |
z 16 . |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
9 |
16 |
64 |
|
|
||||||||
x2 y2 z2 1, z 2, z 1.
81 25
y2 z 2 1, |
z 3, |
z 1. |
7.12.25. |
x2 |
|
|
y2 |
|
z 2 |
1, |
|
z 3, |
z 0 . 7.12.26. |
x2 |
|
y2 |
|
z 2 |
1, |
z 7 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
24 |
9 |
16 |
|
|
|
|
|
4 |
9 |
36 |
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
|
y 2 |
1, z y |
|
|
, z 0, y 0 . |
7.12.28. z 2x2 7 y2 , |
z 7 . |
||||||||||
7.12.27. |
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.12.29. x 2y2 |
18z2 , |
x 3. |
|
7.12.30. y x2 9z2 , |
y 2 . |
|||||||||||||||
Завдання 13. Обчислити об’єм тіла, що утворюється обертанням фігури D навколо вказаної осі координат.
7.13.1.D: y 4 x, x 0, Oy .
7.13.2.D: 
x 
y 
2, x 0, y 0, Ox .
7.13.3.D: x2
9 y2 
4 1, Oy .
7.13.4.D: y3 x2 , y 1, Ox .
449
7.13.5.D: x 6 t sin t , y 6 1 cost , Ox .
7.13.6.D: x 3cos2 t, y 4sin 2 t, 0 t 
2 , Oy .
7.13.7.D: y2 x, x2 y, Ox .
7.13.8.D: y2 x 1 3 , x 2, Ox .
7.13.9.D: x 
1 y2 , y 
23 x , y 0, y 0, Ox .
7.13.10.D: y sin x, y 0, 0 x , Ox .
7.13.11.D: y2 4x, x2 4 y, Ox .
7.13.12. D: x 2cost, y 5sin t, Oy .
7.13.13.D: y x2 , 8x y2 , Oy .
7.13.14.D: y ex , x 0, y 0, x 1, Ox .
7.13.15.D: y2 4x
3 , x 3, Ox .
7.13.16.D: y 2x x2 , y 0, Ox .
7.13.17.D: 2 1 cos , полярна вісь.
7.13.18.D: x 7 cos3 t, y 7 sin3 t, Oy .
7.13.19.D: x2
16 y2 
1 1, Ox .
7.13.20.D: y 1 2 x3 , x 0, y 0, Ox .
7.13.21.D: xy 4, 2x y 6 0, Ox .
7.13.22.D: x 
3 cost, y 2sin t, Oy .
7.13.23.D: y 2 x2 , x2 y, Ox .
7.13.24.D: y x2 8, y x2 , Ox .
7.13.25.D: y2 x 4 3 , x 0, Ox .
7.13.26.D: y x3 , x 0, y 8, Oy .
7.13.27.D: x cos3 t, y sin3 t, Ox .
7.13.28. D: 2y x2 |
2x 2 y 3 0, Ox . |
7.13.29.D: y x x2 , y 0, Ox .
7.13.30.D: y 2 x2
2 8, y x 2, Oy .
450
Завдання 14. Обчислити площу поверхні, що утворюється обертанням дуги кривої L навколо вказаної осі.
7.14.1. L: |
y x3 3 1 2 x 1 2 , Ox . |
|||
7.14.2. L: 2 cos , полярна вісь. |
||||
7.14.3. L: |
x 10 t sin t , y 10 1 cost 0 t 2 , Ox . |
|||
7.14.4. L: |
y x2 |
2 , відтята прямою y 3 2 , Oy . |
||
7.14.5. L: |
3y x2 |
0 x 2 , Ox . |
||
|
|
|
|
|
7.14.6. L: |
y |
x , відтята прямою y x, Ox . |
||
7.14.7. L: |
x 2 t sin t , y 2 1 cost 0 t 2 , Ox . |
|||
7.14.8.L: x cost, y 3 sin t, Ox .
7.14.9.L: 3x y3 0 y 2 , Oy .
7.14.10.L: y x3
3 1 x 1 , Ox .
7.14.11.L: x cost, y 1 sin t, Ox .
7.14.12.L: x2 4 y , відтята прямою y 2, Oy .
7.14.13. L: x 3 t sin t , y 3 1 cost 0 t 2 , Ox .
7.14.14.L: x cos3 t, y sin t3 , Ox .
7.14.15.L: 
cos2 , полярна вісь.
7.14.16.L: y2 4 x , відтята прямою x 2, Ox .
7.14.17.L: y2 2x , відтята прямою 2x 3, Ox .
7.14.18.L: 3y x3 0 x 1 , Ox .
7.14.19.L: 2 4 cos2 , полярна вісь.
7.14.20.L: 6sin , полярна вісь.
7.14.21. L: x t sin t, y 1 cost 0 t 2 , Ox .
7.14.22.L: 2sin , полярна вісь.
7.14.23.L: 32 cos , полярна вісь.
7.14.24.L: x 3cos3 t, y 3sin t3 , Ox .
7.14.25.L: x 2cost, y 3 2sin t, Ox .
7.14.26.L: 2 9 cos2 , полярна вісь.
451
7.14.27.L: y x3 між прямими x 2
3, Ox
7.14.28.L: x 2cos3 t, y 2sin t3 , Ox .
7.14.29. |
L: x cost, y 2 sin t, Ox . |
7.14.30. |
L: 4sin , полярна вісь. |
Завдання 15
7.15.1.Обчислити кінетичну енергію однорідного диска маси M і радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини.
7.15.2.Прямокутна пластинка вертикально занурена в судину з рідиною. Один з її боків довжиною a=0.3 м лежить на поверхні рідини, довжина вертикальних сторін b=0.5 м. На якій глибині треба розділити прямокутник горизонтальною прямою, щоб сили тиску на верхню та нижню частини площі виявились рівними між собою?
7.15.3.Судина, що має форму півкулі радіуса а, наповнена водою. За який час T витече вся вода через отвір S у дні судини (a=0.49 м
S=0.000092м2)? (Швидкість витікання рідини v 
2gh , де h – висота
стовпа рідини над отвором; g – прискорення сили ваги, для води =0,6). 7.15.4. Яку роботу треба витратити, щоб насипати піщану купу
конічної форми з радіусом основи R=1.2 м і висотою H=1 м? (Питому вагу піску, що береться з поверхні землі, прийняти =2 г/см3).
7.15.5.Прямокутні двері шлюзу мають довжину a=0.8 м, ширину d=0.3 м і утворюють кут =60 з горизонтальною площиною. Верхній край
дверей на l=0.4 м по вертикалі нижче поверхні води. Обчислити силу тиску води на двері. (Питома вага води γ =1 т/м3).
7.15.6.Обчислити роботу, яку потрібно витратити на викачування води з казана, що має форму півкулі радіуса R. (Питома вага води γ=1).
7.15.7.Обчислити силу тиску ртуті, що наповнює склянку з діаметром основи 0.06 м і висотою 0.1 м, на стінки склянки, вважаючи
питому вагу ртуті рівною =13,6 т/м3.
7.15.8. Два електричних заряди |
q |
1 |
10 7 |
K |
і |
q |
|
|
2 |
10 7 |
K |
|
2 |
|
|||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаходяться на відстані 10 см один від одного. Середовищем, що їх поділяє, є парафін. Спочатку обидва заряди закріплені нерухомо. Потім
452
заряд q2 звільняється і під дією сили відштовхування віддаляється від заряду q1 на відстань 1 м. Яка робота буде при цьому здійснена силою відштовхування? ( – діелектрична проникність щодо вакууму, для
парафіну: параф=2; 0 – електрична стала: 4π 0=1,11*10-10 ф/м).
7.15.9. Куля лежить на дні басейну глибиною H=1.4 м. Визначити роботу, необхідну для витягування кулі з води, якщо її радіус R=0.3 м, а питома вага матеріалу кулі =2т/м3. (Питома вага води дорівнює 1т/м3).
7.15.10.Квадратна пластинка занурена вертикально у воду так, що одна з її вершин лежить на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна поверхні. Сторона квадрата дорівнює a. З якою силою вода тисне на кожний бік пластинки? (Питома вага води γ =1).
7.15.11.Квадрат зі стороною 8 м вертикально занурений у воду так, що одна з його сторін лежить на поверхні води. Визначити тиск води на
квадрат і на кожну з частин, на які він поділяється діагоналлю. (Питома вага води γ =1т/м3).
7.15.12.Круглий циліндр, радіус основи якого дорівнює R, а висота
H, обертається навколо своєї осі з постійною кутовою швидкістю . Щільність матеріалу, з якого зроблено циліндр, дорівнює . Знайти кінетичну енергію циліндра.
7.15.13. Обчислити силу тиску рідини на бічні стінки кругового циліндра, висота якого дорівнює h, а радіус основи r. Питома вага рідини дорівнює , і рідина повністю заповнює циліндр.
7.15.14. Обчислити роботу на подолання сили тяжіння, яку необхідно затратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса,
оберненого вершиною |
вниз. Висота |
конуса H, |
|
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
радіус основи R. (Питома вага води γ =1). |
|
R |
|
|
|
|||
7.15.15. |
Казан |
параболічної |
форми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
наповнено водою. Радіус основи R. Висота H. Яку |
|
|
|
H |
||||
|
|
|
|
|
||||
роботу необхідно витратити, щоб викачати воду з |
|
0 |
|
y |
||||
|
|
|
|
x |
|
|||
цього казана? (Питома вага води γ =1). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
7.15.16.Знайти кінетичну енергію однорідної трикутної пластинки (висота h, основа a, товщина ), що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо своєї основи (δ – щільність матеріалу пластини).
7.15.17.Яку роботу потрібно витратити, щоб наповнити водою цистерну з горизонтальною віссю, якщо радіус основи цистерни R, а довжина її H? (Питома вага води γ =1).
453
7.15.18. Знайти силу взаємодії однорідного стержня довжини l, маси
M із точкою m. |
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
a |
|
|
|
7.15.19.Знайти силу тиску на один бік квадратної пластинки, що занурена в рідину вертикально вниз так, що одна з її вершин знаходиться на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна поверхні води (сторона пластинки a). (Питома вага рідини γ).
7.15.20.Яку роботу потрібно витратити, щоб викачати рідину з судини, обмеженої циліндричною і напівсферичною поверхнями? (Питома
вага рідини γ). |
2R |
H
R
7.15.21. Гребля має форму рівнобічної трапеції, основи якої мають довжину відповідно a= 200 м і b=50 м, а висота дорівнює h=10 м. Обчислити тиск на греблю, якщо верхня основа лежить на рівні вільної поверхні води. (Питома вага води γ =1т/м3).
7.15.22. Яку роботу треба витратити, щоб насипати купу піску конічної форми з радіусом r і висотою h, якщо питома вага піску =2?
2.15.23. Яку роботу треба витратити, щоб зупинити залізну кулю радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо свого діаметра, якщо питома вага заліза ?
2.15.24. Куля радіусу r занурена у воду. Яку роботу необхідно витратити, щоб витягти кулю з води, якщо питома вага матеріалу кулі дорівнює , а питома вага води дорівнює 1?
2.15.25.Встановити, з якою силою однорідне дротове кільце маси M притягає матеріальну точку m, розташовану на відстані b від центра кільця. Радіус кільця дорівнює a.
2.15.26.Знайти силу тиску на півкруг радіуса r, занурений вертикально у воду так, що його діаметр лежить на поверхні води. (Питома вага води γ=1).
454
7.15.27.Обчислити кінетичну енергію прямого круглого однорідного конуса маси M, що обертається з кутовою швидкістю навколо своєї осі, якщо радіус основи конуса R, а висота H.
7.15.28.Обчислити силу тиску рідини на вертикальну стінку у формі еліпса з осями 2a і 2b, центр якого занурено у рідину на рівень h. ( h b ,
питома вага рідини ).
7.15.29. Знайти силу тиску води на греблю, що має форму параболічного сегмента (2a, h).(Питома вага води γ=1).
7.15.30. Обчислити роботу з подолання сили ваги, яку необхідно витратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса, оберненого вершиною догори. Висота конуса H, радіус основи R. (Питома вага води γ =1).
Завдання 16.
Усі матеріальні тіла в задачах даного розділу вважати однорідними.
7.16.1. Знайти момент інерції відносно осі Оу дуги кола x2 y 2 a2 , що лежить у I-му октанті.
7.16.2. Знайти координати центра ваги дуги кардіоїди a 1 cos від 0 до .
7.16.3. Знайти центр ваги дуги першої арки циклоїди x a t sin t , y a 1 cost , 0 t 2 .
7.16.4.Знайти статичний момент відносно осі Ох фігури, обмеженої лініями y x2 і y 
x .
7.16.5.Знайти момент інерції трапеції ABCD відносно її основи AD, якщо AD=a, BC=b, а висота трапеції дорівнює h.
7.16.6.При розрахунку балкових дерев’яних мостів часто доводиться мати справу з круглими колодами, обтесаними на два канти. Визначити момент інерції подібного перетину щодо горизонтальної лінії.
|
y |
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
R |
x |
|
|
455