|
|
|
|
|
3 |
1 1 sin |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
a |
|
1 3cost |
|
|
t cost dt = |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
t 3sin t |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
sin |
|
t |
|
d |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a . |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 sin t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, об'єм тіла обертання V 2a3 од. куб.
Лабораторна робота 7. Використання системи Maple
для обчислення визначених інтегралів
Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли.
Виконання. Для обчислення визначених інтегралів у системі Maple використовується команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна функція, var – змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі інтегрування:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) sin6 x dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> int(sin(x)^6,x=0..pi/2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
5 |
1 |
|
|
5 |
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
24 |
2 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для спрощення виразу використовуємо команду combine, яка по можливості знижує степінь тригонометричних виразів і поєднує показники степеневих функцій.
> combine(int(sin(x)^6,x=0..pi/2));
1921 sin 3 643 sin 2 645 sin 325 .
Враховуючи, що sin 3 sin 2 sin 0 , одержимо відповідь: 325 ;
1
б) x arctgx dx ,
1
> int(x*arctan(x),x=-1..1);
12 1;
3
в) x3 
x2 1 dx ,
1
> int(x^3*sqrt(x^2-1),x=1..3);
464 2 ;
15
> int(1/(x^2+x),x=1..2);
2 ln(2) ln(3) .
Спростимо отриманий вираз
> combine(int(1/(x^2+x),x=1..2));
ln 4 .3
Завдання 2. Обчислити площі фігур, що обмежені заданими лініями:
а) y x2 , y x 2 .
Виконання:
>f1:=-x^2;
>f2:=-x-2;
>eqn:=f1=f2: (складаємо рівняння для пошуку абсцис точок перетину заданих ліній),
>pred_int:=solve(eqn,x); (розв'язуємо рівняння, результат присвоюється масиву pred_int, який складається з двох елементів),
pred _ int { 1,2}.
Будуємо графіки заданих функцій за допомогою команди plot([f1,f2],x=a1..a2,y=b1..b2,color=[blue,red],style=[line,line],thickness=[2, 4]), де a1..a2 – діапазон змінювання аргументу x , b1..b2 – інтервал, що виводиться по осі ординат, параметр color задає кольори графіків функцій, параметр style визначає вид ліній, параметр thickness визначає товщину ліній.
>plot([f1,f2],x=-3..3,y=-5..3, color=[black,black],style=[line,line],thickness=[2,4]);
З графіка видно, що зверху фігура обмежена лінією |
f 1, а знизу – |
лінією |
f 2 , тому площу |
фігури обчислюємо, як інтеграл |
від |
різниці |
функцій |
f 1 f 1 |
по |
змінній |
x при змінюванні |
її |
від |
x 1 |
pred _ int 1 1 до x 2 |
pred _ int 2 2 . |
|
|
|
> S:=int(f1-f2,x=pred_int[1]..pred_int[2]); |
|
|
|
|
|
|
S |
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким чином, площа фігури дорівнює 4,5 кв.од; |
|
|
|
б) |
Обчислити |
площу фігури, |
що обмежена лініями |
x2 y2 16 , |
x2 12 y 1 .
Виконання. Для побудови графіків функцій, заданих неявно, потрібно скористатися командою implicitplot із графічного пакета plots, попередньо викликавши його з бібліотеки.
>with(plots):
>f1:=x^2+y^2=16; (задано неявне рівняння кола),
f 1: x2 y2 16 ,
> f2:=x^2=12*(y-1); (задано неявне рівняння параболи), f 2 : x2 12 y 1 ,
>implicitplot({f1,f2},x=-5..5,y=-5..5,color=black); >rez:=solve({f1,f2},{x,y}); (результат розв'язання рівняння
присвоюється змінній rez),
rez : y 2, x 2RootOf (_ Z 2 3,label _ L10) ,y 14, x 6RootOf (_ Z 2 5,label _ L12)
Якщо у виразі відповіді з'явився вираз RootOf , це означає, що Maple або не може виразити корені в радикалах, або це вимагає додаткових зусиль. Команда allvalues дозволяє подати розв'язок, використовуючи радикали. З рисунку видно, що корені рівняння, що відповідають y 14 , є зайвими,
|
то обчислюємо абсциси тільки тих |
точок, |
ординати яких дорівнюють |
|
y 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> pred_int:=allvalues(rez[1]); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pred _ int : y 2, x 2 |
|
, y 2, x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
Виражаємо |
явним |
|
чином y як функцію |
від x |
з |
|
неявних рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
16 x2 , y |
2 |
|
. З рисунку видно, |
що лінія y |
1 |
обмежує фігуру |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зверху, а y2 |
– знизу, змінна інтегрування x змінюється від 2 3 до 2 3 . |
|
>S:=int(sqrt(16-x^2)-(x^2+12)/12,x=-2*sqrt(3)..2*sqrt(3)); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
` |
|
|
|
|
|
|
|
|
S : |
4 |
|
|
|
16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Обчислити площу фігури, що обмежена віссю абсцис і однією |
|
|
|
|
|
|
|
x 4 t sin t |
, 0 t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аркою циклоїди |
|
|
|
4 1 cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виконання. Команду plot можна використати і для виведення параметрично заданої кривої plot([funx(t), funy(t),t=a..b],options), де funx(t), funy(t) – функції координат, що залежать від параметра t; a і b – межі інтервалу зміни параметра. Через S позначимо площу фігури.
>restart:
>x:=4*(t-sin(t)): y:=4*(1-cos(t)):
>plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);
429
|
2 |
> s:=int(y*diff(x,t),t=0..2*pi); |
(обчислення інтеграла y xt dt ), |
|
0 |
s : 48 32sin(2 ) 8cos(2 ) sin(2 ) , |
> S:=subs(sin(2*pi)=0,s); |
(обчислимо значення s, задав значення |
|
sin 2 0 ), |
S : 48 .
Площа фігури дорівнює 48 кв.од;
г) Обчислити площу фігури, що обмежена кардіоїдою 2 1 cos . Виконання. Для побудови графіка в полярній системі координат використовується команда polarplot(r,alf=a..b alf,[options]), де r –
рівняння кривої в полярній системі координат, alf=a..b – діапазон змінювання полярного кута alf, [options] – необов’язкові параметри, що керують кольором (color), товщиною (thickness), стилем (style) і т.ін. лінії, що виводиться.
>restart:
>r:=2*(1+cos(alf)):
>with(plots):
polarplot(r,alf=0..2*Pi,color=black);
Фігура симетрична відносно осі абсцис, тому обчислюємо визначений інтеграл на інтервалі 0, , а потім подвоюємо результат.
S:=2*int((1/2)*r^2,alf=0..pi);
S : 6 8sin( ) 2 cos( ) sin( ) ,
430
> S:=subs(sin(pi)=0,S);
S : 6 .
д) Знайти площу, що обмежена кривою 6 cos3 і лежить поза колом 3.
Виконання. Позначимо r1 – рівняння трипелюсткової троянди 6cos3 , r2 – рівняння кола, alf – кут , gr – точки перетину кривих r1 і r2. > restart:
>r1:=6*cos(3*alf);
r1: 6 cos3 ;
>r2:=3;
r2 : 3 .
Зробимо рисунок фігури, площу якої потрібно обчислити. > with(plots):
polarplot([r1,r2],alf=0..2*Pi,color=black);
Шукана площа складається з трьох однакових частин, які не перетинаються між собою, тому можна знайти площу однієї частини, а потім потроїти отримане значення. Знайдемо координати точок перетину кола та трипелюсткової троянди.
> eqn:=r1=r2;
eqn : 6cos 3alf 3;
> gr:=solve(eqn,alf);
gr : 9 ;
таким чином, команда solve дозволяє отримати тільки головний розв'язок тригонометричного рівняння; щоб знайти всі розв'язки, необхідно ввести команду _EnvAllSolutions:=true, яка встановлює для змінної операційної середи _EnvAllSolutions значення true. Тепер розв'язок того ж рівняння виглядає так:
> _EnvAllSolutions:=true:
>gr:=solve(eqn,alf);
gr : 19 92 _ B!~ 32 _ Z!~ ,
де _ B!~, _ Z!~ – натуральні числа. Виберемо із загального розв'язку ті значення, які відповідають точкам перетину першого пелюстка трипелюсткової троянди та кола.
> subs(_B1=0,_Z1=0,gr);
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> subs(_B1=1,_Z1=0,gr); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обчислюємо площу фігури |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> S:=3*(1/2)*int(r1^2-r2^2,alf=-pi/9..pi/9); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
S : |
18 cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
> S:=combine(S); (виконуємо спрощення тригонометричного виразу);
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
Обчислюємо величину S , задавши значення sin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
> S:=subs(sin(2*pi/3)=sqrt(3)/2,S); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S : |
|
3 3 . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x 3cos t |
. |
|
|
|
|
а) Знайти довжину дуги астроїди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
y 3sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виконання. Позначимо через L довжину дуги астроїди. Так як астроїда є симетричною фігурою, можна знайти довжину лише однієї чверті
( 0 t 2 ), а потім одержане значення помножити на чотири. > restart:
>x:=3*(cos(t))^3;y:=3*(sin(t))^3:
>plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
обчислимо довжину дуги за формулою L 4 |
xt 2 yt 2 dt , |
|
0 |
|
|
|
|
> L:=4*int(sqrt(diff(y,t)^2+diff(x,t)^2),t=0..Pi/2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L : 9 4 , |
|
|
|
> L:=simplify(L); |
(спростимо отриманий вираз), |
|
L : 18; |
|
|
|
б) Знайти довжину дуги кривої y : |
x2 |
|
ln x |
, 1 x 2 . |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
Виконання
>restart:
>y:=x^2/4-ln(x)/2;
y : 14 x2 12 ln x , > plot(y,x=0..3,color=black,thickness=1);
2 |
|
|
обчислимо довжину дуги за формулою L |
1 y 2 |
dx , |
1 |
|
|
> L:=simplify(int(sqrt(1+diff(y,x)^2),x=1..2));
y : 34 12 ln 2 .
в) Знайти довжину дуги кривої 4 sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
, при зміні від 0 до 3 . |
|
|
|
|
|
|
Виконання. Позначимо r – полярний радіус, |
alf |
– кут , r1 – похідна |
|
|
|
|
|
|
|
|
, L – довжина дуги кривої. |
|
|
|
|
|
|
|
> r:=4*(sin(alf/3))^3; |
|
|
|
|
|
|
|
r : |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
4sin |
|
|
alf |
, |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
> with(plots):
> polarplot(r,alf=0..3*Pi,color=black);
> r1:=diff(r,alf);
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
r1: 4sin |
|
|
alf |
cos |
|
|
alf , |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3
обчислимо довжину дуги за формулою L 2 2 d ,
0
> L:=int(sqrt(r^2+r1^2),alf=0..3*Pi);
|
|
3 |
|
|
|
|
L : |
16 |
, |
|
|
|
2 |
|
|
|
> L:=simplify(L); |
(спростимо одержаний вираз), |
|
L : 6 . |
|
Контрольні завдання до гл. 7
Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли.
1 |
x2 1 dx |
2 |
x3 |
7.1.1. |
|
|
|
. |
7.1.2. |
|
dx . |
x |
3 |
3 |
x2 4 |
0 |
|
3x 1 |
0 |
|
|
8
1 
x