Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5165 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
8.59 Mб
Скачать
☆

Враховуючи, що на поверхні Землі сила тяжіння F=P, а x=R,

знайдемо коефіцієнт k:

 

 

 

P

kMP

 

, звідси k

qR 2

.

qR 2

 

 

 

M

Вираз для роботи остаточно буде таким:

 

A PR

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

H

 

При віддаленні ракети в нескінченність

 

 

 

 

 

 

 

 

A lim PR

2 1

 

 

1

 

 

 

PR .

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

H

 

 

 

R

 

R

H

 

Задача 2. З якою силою дротове кільце маси M, радіуса R діє на матеріальну точку C маси m, що лежить на прямій, яка проходить через

 

z

 

 

центр

кільця

перпендикулярно

до

його

 

 

 

площини? Відстань від точки до центра кільця

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

Розв’язання.

 

Розіб’ємо

кільце

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li , вважаючи кожну з

 

 

i

y

елементарні ділянки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a A

 

 

отриманих

ділянок

матеріальною

точкою

x

C

 

 

маси:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.6

 

m l

i

M

l

i

 

M R

i

M

 

. (7.3)

 

 

 

 

i

 

 

 

2 R

 

 

2 R

2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут – щільність розподілу маси, а i – кут, що відповідає ділянці

дуги li (рис. 7.6). Визначимо силу

 

 

 

взаємодії матеріальної точки C з

 

Fi

малою ділянкою кільця li . Для цього подамо

 

 

 

 

 

 

 

 

Fi у вигляді розкладання по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базису i , j ,k :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fi = Fix i

 

Fiy j

Fiz k ,

 

 

 

(7.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

Fix , Fiy , Fiz – проекції

Fi на осі координат. Очевидно,

 

сила

F являє

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

собою рівнодіючу елементарних сил Fi і визначається як

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

F

= i Fix j Fiy k

Fiz .

 

 

 

(7.5)

 

 

 

i 1

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

Варто зазначити, що з огляду на симетрію поставленої задачі

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fix

0, Fiy

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

416

Таким чином, величина шуканої сили взаємодії визначається як сума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проекцій

Fi на вісь Oz. Обчислимо величину Fiz :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiz Fi cos ,

 

 

 

 

 

 

 

(7.6)

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–

кут

між віссю

Oz

і

вектором

Fi ,

що

є сталим для

всіх

i 0,1,2,...,n 1 і знаходиться із прямокутного трикутника COA:

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

a

.

 

 

 

 

 

 

(7.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2 a 2

 

 

 

 

 

 

 

Згідно з законом взаємодії двох точкових

мас

величина

Fi

визначається приблизно таким чином:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F k mmi

 

 

kmM

 

i

.

 

 

(7.8)

 

 

 

 

 

i

 

r 2

 

R 2

a 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут враховане значення mi (7.3), а також відстань r

a 2 R 2

між

точковими масами (риc. 7.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді, підставляючи (7.8) и (7.7) в (7.6), та, підсумовуючи за i,

одержимо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

kmMa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F Fiz

 

 

 

 

i .

 

(7.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i 1 R 2 a 2 3 2 2

 

 

 

 

За точне значення величини сили взаємодії ми візьмемо ту границю,

до якої прямує інтегральна сума (7.9), коли довжина найбільшої з

часткових ділянок li , а також і i

наближаються до нуля.

 

 

 

 

 

kmMa

 

 

 

kmMa

 

2

 

 

 

 

kmMa

 

 

F lim

 

i

 

 

d

 

 

 

 

 

R2

3 2

R2

 

3 2

2

 

 

 

3 2 .

 

0

 

a2

2

 

a2

 

0

 

R2 a2

 

 

Задача 3. Знайти момент інерції відносно осі обертання тіла,

обмеженого параболоїдом, радіус основи якого дорівнює R, а висота H.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання.

 

Параболоїд

 

 

 

z

xi

 

 

 

обертання являє собою поверхню,

 

 

 

 

А

 

 

отриману при обертанні параболічного

 

 

 

 

 

 

 

 

сегмента (R,H) навколо осі Oz. Рівняння

 

 

 

 

 

H

 

 

параболи, зображеної на рис. 7.7, має

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

xi xi+1

 

x

вигляд

 

x 2 2 pz .

Для

визначення

 

 

 

 

параметра p підставимо в рівняння

 

 

 

Рис. 7.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параболи координати точки A, що

належить цій параболі. Тоді R2 2 pH ,

2 p R2

H ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

417

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і рівняння параболи запишеться у вигляді

x 2

 

R 2

z . Рівняння поверхні

 

 

 

 

 

 

 

 

H

обертання

ми одержимо, замінюючи x2

на

x2 y 2 , тобто рівняння

z

H

x2

y2 є рівнянням даного параболоїда обертання.

 

 

R2

 

 

 

 

 

При розв'язанні задач на обчислення моменту інерції варто звернути увагу на те, що розбивку на елементарні ділянки потрібно здійснювати так, щоб усі точки виділеної i-тої ділянки приблизно знаходилися на однаковій відстані від осі обертання.

У даній задачі цього можна досягти, якщо параболоїд обертання розбити системою кругових циліндрів (рис. 7.8), осі яких збігаються з віссю обертання Oz. Тоді усі точки параболоїда обертання, розташовані

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

між

циліндрами радіусів

xi і xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

будуть

знаходитися майже

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

однаковій відстані від осі обертання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через малість

xi .

 

Маса

виділеної

 

 

 

 

xi

xi+1

 

 

 

x

ділянки

приблизно

визначається

як

 

 

 

 

Рис. 7.8

 

 

 

 

маса

 

циліндричного

кільця

 

 

 

 

 

 

 

 

товщиною xi

і висотою hi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h H Z( x

i

,0 ) H

H x 2

H R 2 x 2

.

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

R 2

i

R 2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З огляду на зроблене розбиття виділену ділянку можна розглядати як

матеріальну точку маси:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m x

 

x

2 h x2

2 x

x h 2 x

H

R2 x2 x

.

 

 

i

 

i

i

i

i

 

 

i

i i

 

i R2

 

i

i

 

 

 

Тоді момент інерції i-тої ділянки приблизно дорівнює:

J

 

2

H

x3

R 2

x 2

x

.

i

 

 

 

R 2

i

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точне значення моменту інерції одержимо, якщо підсумуємо I i по всіх i 0,1,2,...,n 1 та перейдемо до границі в отриманій інтегральній сумі при max xi 0:

R

H 3 2 5

H

x 4 R 2

 

x6

 

R

 

R 4 H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 2

R

2 x R x dx 2

R

2

 

4

 

6

 

 

 

 

6

.

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

418

Задача 4. Обчислити кінетичну енергію диска маси M і радіуса R ,

що обертається з кутовою швидкістю навколо осі,

що проходить через

його центр перпендикулярно до його площини.

 

 

 

Розв'язання. Кінетична енергія елемента

диска

 

 

 

 

dK

mV 2

 

r 2

2

 

 

ds,

 

 

 

2

 

2

де r – відстань елемента диска (кругового кільця) до осі обертання. Поверхнева щільність маси

M , тоді dK

R 2

Кінетична енергія диска

 

M 2

R

M 2

 

r 4

K

 

r 3 dr

 

 

 

R 2

R 2

4

 

0

 

M 2

r 2 ds ;

ds 2 rdr .

 

2 R 2

 

 

 

 

R

M 2 R 2

 

 

 

 

 

.

 

 

4

 

0

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Знайти статичний момент однорідного конуса з радіусом

основи цього конуса R и висотою H

відносно площини основи цього

конуса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. З подібності трикутників маємо

 

 

 

 

 

 

y

 

H x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

H

 

 

 

 

 

звідки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y R 1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

Розбиття здійснене таким чином, що всі

 

точки елементу об'єму знаходяться на

 

однаковій відстані від основи конуса.

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маємо:

dV y 2 dx R 2 1

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x 2

Елементарний статичний момент дорівнює dM R

 

1

 

xdx , звідки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

419

 

2 H

 

 

x 2

2 H

 

 

2x

 

x2

 

M R

x 1

 

 

 

dx R

x 1

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

2

 

0

 

 

H

 

0

 

 

H

 

H

 

 

R2

x2

 

2x3

 

x4

 

 

 

H

R2

 

H 2

 

2

H 2

 

H 2

 

R2 H 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4H

2

 

 

2

3

4

 

 

2 3H

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Знайти

момент

інерції

фігури, обмеженої еліпсом

x a cost, y bsin t , відносно осі OY . Вважаємо 1.

 

Розв'язання. Як випливає з рисунка,

 

 

 

a

 

 

 

I y 2 x2dS,

 

 

 

0

де

dS 2ydx 2bsint asintdt 2absin2 tdt –

елемент

площі.

Через рівність поверхневої

щільності 1

dS dm. Знаходимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

I y 4ab a2 cos2 t sin 2 tdt a3b sin 2

2tdt

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3 2

1 cos4t

 

3 t

 

sin 4t

 

 

2

 

a3b

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

dt

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

0

2

 

2

 

8

 

 

 

0

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7. Знайти силу тиску води на вертикальну стінку, що має

форму трапеції,

нижня основа якої a , верхня b ,

висота H , якщо основа b

знаходиться на поверхні води a b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язання. За законом Паскаля тиск

 

 

рідини на занурену в неї горизонтальну

 

 

пластину дорівнює вазі стовпа рідини, що

 

 

опирається на цю пластину, тобто добуткові

 

 

площі пластини на її відстань від вільної

 

 

поверхні рідини і

на

питому вагу рідини.

Розбиваємо пластину на елементарні шари, які знаходяться на глибині занурення, що дорівнює x (AD=b, EC=a). ABC ~ FKC , тоді

a c

 

H x

1

x

; c b a b

x

.

a b

 

 

 

 

H

 

H

 

H

420

Тиск рідини на елементарний шар dx

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP b a b

 

 

 

xdx (питома вага води 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді для знаходження тиску на всю пластину інтегруємо елемент

тиску dP в межах зміни від 0 до H. Одержимо

 

 

 

H

 

 

 

 

 

x

 

 

H

 

 

ax 2

b

 

 

2

 

 

P b (a b)

 

 

 

xdx

 

bx

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

H

 

 

0

 

 

H

H

 

 

 

 

 

 

x 2

 

(a b) x 3

 

 

H

 

b

 

 

a b H 3

 

 

b 2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H 2

 

 

 

 

 

 

 

 

H 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

H

3

 

 

0

 

2

 

 

 

3H

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8. За який час спорожниться наповнена доверху вертикальна циліндрична бочка радіуса R , висоти H через круглий отвір у дні радіуса r ?

Розв'язання. За законом Торічеллі швидкість витікання рідини дорівнює v k 2gh , де h –

висота рівня рідини над отвором. Кількість рідини, що витікає за час dt , дорівнює об'ємові R 2 dh , де

R 2 – площа основи циліндра. Тоді швидкість

 

S r 2

 

 

витікання рідини через отвір, площа якого S r 2 ,

 

 

 

r 2 dh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

буде дорівнювати

, а з іншого боку kS

2gh .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2 dh

k r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отримаємо рівність

 

2gh , звідки маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

R 2 dh

 

 

 

 

 

 

R 2

 

 

 

dh

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k r 2

 

 

 

 

 

 

kr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2gh

 

 

 

2g

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Резервуар спорожниться при зміні

 

h від 0 до H . Інтегруючи дану

рівність, знаходимо час T спорожнювання циліндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

dh

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

2H R

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 h

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

2

 

 

kr

 

 

2g 0

 

 

h

 

 

kr

 

 

 

2g

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

421

Контрольні приклади і запитання до гл. 7

Перш ніж приступити до виконання індивідуального розрахункового завдання, читач може разом з нами розв'язати кілька

типових задач, заміняючи знак необхідними числами та виразами.

Обчислення площі плоскої фігури

Для обчислення площі плоскої фігури використовують одну з наступних формул (залежно від того, як задані обмежуючу фігуру криві):

 

b

f2

x f1

x dx ;

 

t2

 

 

 

 

1

 

 

 

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

a) S

б) S

y

t x t dt ;

в) S

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.1.

Обчислити площу,

що

обмежена прямою

y x і

параболою y 2 x2 .

Розв'язання

1) Криві задані в декартовій системі координат, тому з перерахованих вище формул (а, б, в) для обчислення площі обираємо формулу .

2) Для встановлення меж інтегрування а і b треба розв'язати систему

 

y x

 

 

 

рівнянь

 

 

. Розв'язуючи систему, одержуємо

x1 , x2 . Ці

 

x2

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

числа і є межами інтегрування.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Визначимо вигляд функцій

 

f1

і f2

для даного випадку: f1 x ,

f

2

x

на відрізку

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

4) Маємо площу S 2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

x2

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

422

Задача 7.2. Знайти площу, обмежену кривою 2 a2 cos 2 .

Розв'язання

1) Оскільки крива задана в полярній системі координат, то з перерахованих формул треба вибрати формулу .

2) Крива визначена в тій частині площини, де cos2 0 , тобто там,

де

 

 

 

і

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Крива складається з двох однакових пелюстків, тому можна обчислити площу, обмежену пелюстком у правій півплощині S1 , і

результат помножити на .

4) Пелюсток у правій півплощині розташований між променями

 

 

 

і

 

. Ці числа і є межами інтегрування у формулі (в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

a

2

 

S

 

 

 

cos 2 d

 

.

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)Остаточно S S1 a2 .

6)Зверніть увагу, що площа, обмежена даною кривою (лемніскатою Бернуллі), дорівнює площі квадрата зі стороною .

Обчислення довжини дуги

Довжина дуги обчислюється за однією з формул:

 

b

 

 

 

 

 

 

1.

L 1 y 2 dx

a b ; 2. L

xt 2 yt 2 dt ;

 

a

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 2 d .

 

 

3.

L

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Задача 7.3. Знайти довжину евольвенти кола

x a cost t sin t

 

 

 

от t 0

до t 2 .

y a sin t t cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

423

Розв'язання

1) Оскільки крива задана параметрично, для обчислення довжини

дуги використовуємо формулу . Межами інтегрування тут є числа

і

.

2)

xt a cost ,

yt a sin t ,

звідси xt 2 yt 2 a t

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одержимо

xt 2 yt 2

t .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

at2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) L

xt 2 yt 2 dt tdt

 

 

a .

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.4. Знайти довжину кривої 9 y2 x x 3 2 між точками її перетину з віссю Ох.

Розв'язання

1) Крива задана в декартовій системі координат. Для обчислення довжини вибираємо формулу .

2) Межами інтегрування є точки перетину з віссю Ох. y Це

точки: x , x .

3) Крива симетрична відносно осі Ох:

y 13 x x 3 13 x x , тому можна обчислити половину довжини

L1 і результат помножити на .

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) y

3 3 x , знайдемо її похідну:

y

 

 

 

 

. Обчислимо

x

 

підінтегральний вираз: 1 y 2

 

x 2

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) L1

 

 

 

 

x3 2

 

 

 

 

 

 

 

dx

x

 

 

 

 

3 .

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Довжина всієї лінії L 2L1

 

 

 

 

 

3 .

 

 

424

Обчислення об'єму тіла обертання

Задача 7.5. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ох площі, що обмежена параболою y x2

1 і прямою y 3x 1.

Розв'язання

 

 

1) Якщо площа обмежена кривими

y y1 x і

y y2 x при

a x b , то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї площі навколо осі Ох,

b

обчислюється за формулою V0x y22 x y12 x dx .

a

2) Для визначення меж інтегрування треба знайти точки перетину

 

 

2

1

 

 

кривих. Розв'язуючи систему рівнянь

y x

 

, отримаємо x1

,

 

 

 

 

y 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 . Ці числа і є межами інтегрування.

3) На проміжку

 

,

 

пряма y 3x 1 розташована вище параболи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x2 1, тому y

,

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

2

x

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x x4 dx

 

x3

x

2

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.6. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі

 

x a t

sin t

 

Ох фігури, що обмежена однією аркою циклоїди

 

 

і віссю

 

y a 1 cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ох.

Розв'язання. Одна арка циклоїди відповідає змінюванню параметра t від 0 до . Запишемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання у

t2

випадку параметричного завдання кривої: V y2 t d x t .

 

t1

Обчислимо об'єм за цією формулою:

 

 

V a2 1 cost 2

a dt a3 1 3cost 3 cos3 t dt =

0

0

425

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности