
Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009
.pdf
Враховуючи, що на поверхні Землі сила тяжіння F=P, а x=R,
знайдемо коефіцієнт k: |
|
|
|
||
P |
kMP |
|
, звідси k |
qR 2 |
. |
qR 2 |
|
||||
|
|
M |
Вираз для роботи остаточно буде таким:
|
A PR |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||
|
|
|
R |
|
|
H |
|
|||||||
При віддаленні ракети в нескінченність |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A lim PR |
2 1 |
|
|
1 |
|
|
|
PR . |
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
H |
H |
|
|
|
R |
|
R |
H |
|
Задача 2. З якою силою дротове кільце маси M, радіуса R діє на матеріальну точку C маси m, що лежить на прямій, яка проходить через
|
z |
|
|
центр |
кільця |
перпендикулярно |
до |
його |
||||||||||
|
|
|
площини? Відстань від точки до центра кільця |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
дорівнює a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
O |
|
|
|
Розв’язання. |
|
Розіб’ємо |
кільце |
на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li , вважаючи кожну з |
|||||
|
|
i |
y |
елементарні ділянки |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a A |
|
|
отриманих |
ділянок |
матеріальною |
точкою |
|||||||||||
x |
C |
|
|
маси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.6 |
|
m l |
i |
M |
l |
i |
|
M R |
i |
M |
|
. (7.3) |
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
2 R |
|
|
2 R |
2 |
i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тут – щільність розподілу маси, а i – кут, що відповідає ділянці |
|||||||||||||||||
дуги li (рис. 7.6). Визначимо силу |
|
|
|
взаємодії матеріальної точки C з |
||||||||||||||
|
Fi |
|||||||||||||||||
малою ділянкою кільця li . Для цього подамо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Fi у вигляді розкладання по |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базису i , j ,k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Fi = Fix i |
|
Fiy j |
Fiz k , |
|
|
|
(7.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де |
Fix , Fiy , Fiz – проекції |
Fi на осі координат. Очевидно, |
|
сила |
F являє |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собою рівнодіючу елементарних сил Fi і визначається як |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F |
= i Fix j Fiy k |
Fiz . |
|
|
|
(7.5) |
||||||||||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Варто зазначити, що з огляду на симетрію поставленої задачі |
|
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fix |
0, Fiy |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
416

Таким чином, величина шуканої сили взаємодії визначається як сума |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекцій |
Fi на вісь Oz. Обчислимо величину Fiz : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Fiz Fi cos , |
|
|
|
|
|
|
|
(7.6) |
|||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
кут |
між віссю |
Oz |
і |
вектором |
Fi , |
що |
є сталим для |
всіх |
||||||||||
i 0,1,2,...,n 1 і знаходиться із прямокутного трикутника COA: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
(7.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Згідно з законом взаємодії двох точкових |
мас |
величина |
Fi |
||||||||||||||||
визначається приблизно таким чином: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
F k mmi |
|
|
kmM |
|
i |
. |
|
|
(7.8) |
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
r 2 |
|
R 2 |
a 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тут враховане значення mi (7.3), а також відстань r |
a 2 R 2 |
між |
|||||||||||||||||
точковими масами (риc. 7.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тоді, підставляючи (7.8) и (7.7) в (7.6), та, підсумовуючи за i, |
|||||||||||||||||||
одержимо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
kmMa |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F Fiz |
|
|
|
|
i . |
|
(7.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 R 2 a 2 3 2 2 |
|
|
|
|
|||||||
За точне значення величини сили взаємодії ми візьмемо ту границю, |
|||||||||||||||||||
до якої прямує інтегральна сума (7.9), коли довжина найбільшої з |
|||||||||||||||||||
часткових ділянок li , а також і i |
наближаються до нуля. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
kmMa |
|
|
|
kmMa |
|
2 |
|
|
|
|
kmMa |
|
|
|||
F lim |
|
i |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||
R2 |
3 2 |
R2 |
|
3 2 |
2 |
|
|
|
3 2 . |
|
|||||||||
0 |
|
a2 |
2 |
|
a2 |
|
0 |
|
R2 a2 |
|
|
||||||||
Задача 3. Знайти момент інерції відносно осі обертання тіла, |
|||||||||||||||||||
обмеженого параболоїдом, радіус основи якого дорівнює R, а висота H. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
Параболоїд |
|||||||
|
|
|
z |
xi |
|
|
|
обертання являє собою поверхню, |
|||||||||||
|
|
|
|
А |
|
|
отриману при обертанні параболічного |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сегмента (R,H) навколо осі Oz. Рівняння |
|||||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
параболи, зображеної на рис. 7.7, має |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
xi xi+1 |
|
x |
вигляд |
|
x 2 2 pz . |
Для |
визначення |
||||||||
|
|
|
|
параметра p підставимо в рівняння |
|||||||||||||||
|
|
|
Рис. 7.7 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
параболи координати точки A, що |
|||||||||||
належить цій параболі. Тоді R2 2 pH , |
2 p R2 |
H , |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
417 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|






Задача 7.2. Знайти площу, обмежену кривою 2 a2 cos 2 .
Розв'язання
1) Оскільки крива задана в полярній системі координат, то з перерахованих формул треба вибрати формулу .
2) Крива визначена в тій частині площини, де cos2 0 , тобто там,
де |
|
|
|
і |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Крива складається з двох однакових пелюстків, тому можна обчислити площу, обмежену пелюстком у правій півплощині S1 , і
результат помножити на .
4) Пелюсток у правій півплощині розташований між променями
|
|
|
і |
|
. Ці числа і є межами інтегрування у формулі (в) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
S |
|
|
|
cos 2 d |
|
. |
|||||
2 |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)Остаточно S S1 a2 .
6)Зверніть увагу, що площа, обмежена даною кривою (лемніскатою Бернуллі), дорівнює площі квадрата зі стороною .
Обчислення довжини дуги
Довжина дуги обчислюється за однією з формул:
|
b |
|
|
|
|
|
|
1. |
L 1 y 2 dx |
a b ; 2. L |
xt 2 yt 2 dt ; |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 d . |
|
|
||||
3. |
L |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Задача 7.3. Знайти довжину евольвенти кола
x a cost t sin t |
|
|
|
|
от t 0 |
до t 2 . |
|
y a sin t t cost |
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
423 |

