Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

к)

1 3 2x

;

л)

6.1.10. а)

arctg3 x

dx;

б)

г)

3x 2 dx

;

д)

x2 x 4

ж)

ctg2 xdx ;

з)

к)

3 4x

dx2 ;

л)

1 2

6.1.11. а) sin3 x cos12 xdx;

б)

г)

2x 4 dx

;

д)

4x2 x 11

sin

x 2

ж)

dx ;

к)

;

6.1.12. а)

etg x

dx;

б)

cos2 x

г)

3x 1 dx

;

д)

x2 3x 1

ж) x 1 x 10 dx ;

з)

к)

2x 1

dx ;

л)

x3 25 x2 dx ;

м)

cos

x2e5xdx;

в)

;

cos

xsin x

1 4

4x2 14x 11

dx;

е)

dx ;

x 6

x 1

;

и)

;

sin

x cos

x2 1

;

м)

ln x 1 dx

64 x2 3

ln2 x

x2exdx;

в)

2x2 3x 7

dx;

x 1 x 2 x 5

з)

xdx

;

л)

;

м)

1 x

dx;

в)

sin2 2x

5x2 31x 31

dx;

е)

x 1 2 x 6

x2 1 dx

;

и)

x3 3x 2

x4dx

;

м)

6 x2

		dx					;

8cos x			sin x		9

е)			x 1			dx ;

			3
	1		3	x	1
	1			x	1

и) sin4 xdx ; cos6 x

	x ln x		dx .


	x2 1 3
	x2 1 3

dx ; cos2 xsin x

1 x 2 dx ;

x10 x9

cos6 xdxsin4 x ;

xex2 x2 1 dx .

386

6.1.13. а) sin13 x cos3 xdx;

г)

3x 6 dx

;

6x2 2x 7

ж)

2x 1 5x 1

dx ;

к)

;

x 1

eс tg x

6.1.14. а) dx; sin2 x

3x 2 dx

г) ;

x2 3x 2

ж) e3x 1 dx ; ex 1

xdx

к) x x2 1 ;

6.1.15. а) cos x dx; sin11 x

4 x dx г) x2 8x 3 ;

ж)				dx				;

		sin2	2x cos2
		sin2	2x cos2				2x

к)		x		dx ;


		2 x
6.1.16. а)		arcsin3 x			dx;

	1			x2
	1			x2
г)	3x 4 dx					;


		x2	x 5

б)

д)

з)

л)

б)

д)

з)

л)

x2 3x dx;						в)
				2	3
		7x 20x				dx;
		2
			x
				1 x 5
			x cos x		dx ;

	x2			2sin x

x4 x2 dx ;

x3e3xdx;

3x2 29x 69

x 5 2 x 4 dx;

	x2
	x2		1 dx
				;

x3			3x 1
x3			3x 1
x2
x2		1 x2 dx ; м)

;

5cos x

5sin x

е)

;

1 3

и)

;

sin x cos

1 dx

м)

x4 3x2 1

в)

;

cos xsin3 x

1 3 x2

е)

2 5

dx ;

и) sin5 x3cos xdx ;

2x 3 4x x2 .

б)

dx;

в)

;

sin

25cos x

2sin x 23

д)

3x2

20x 22

dx;

е)

x3 1 x2

dx ;

x 4

x 1

з)

tg x

ln cos xdx ;

и) sin5 xdx ;

л)

x3dx

;

м)

xexdx

9 x2

1 x

б) x3e 2xdx;

в)

;

cos xsin

1 5

д)

x2 12x 14

dx; е)

dx ;

8x 15 x 3

x2 25 x11

387

2cos x 3sin x dx

; и) sin3

ж)

;

з)

cos5

dx ;

x2 1

x2 2

2sin x 3cos x 4

xexdx

к)

;

л)

x2 4

dx ;

м)

x 1

x2 2x 2

6.1.17. а)

sin x

dx;

б)

x arctg xdx;

в)

;

cos12 x

5cos x

3sin x

1 x

x 3

г)

;

д)

dx; е)

;

3x 4

x 3

3x2 2x 8

x 2 2

x 2 3

ж) ex e x

1 dx

;

з)

2 x

;

и)

;

sin4 x

к)

x3dx

;

л)

dx ;

м)

arctg x

dx .

3 x2 1 1

6.1.18. а)

arcctg

dx;

б) x3e xdx;

в)

sin

dx;

cos

2x 5 dx

г)

д)

7x 37

dx;

е)

;

dx ;

x 4

x 3

x2 2x 1

ж)

e2 x

з)

и)

;

x x 1

cos

к)

;

л)

4 x2

dx ;

м)

x arctg x

dx .

2x 1 1

1 x2 2

2x 1

cos15 xsin xdx;

в)

6.1.19. а)

б)

e 4

cos3xdx;

;

2cos x 3sin x 1

x 3 dx

x2 6x 6

3 x

г)

д)

dx;

е)

dx ;

;

x2 5x 4 x 2

1 3

4x2 6x 1

ж)

tg x

ctg x

1 dx ;

з)

1 ln3 x

dx ;

и)

ctg4 xdx ;

388

к)

;

л)

dx ;

м)

arctg x

dx .

x2 2 x

6.1.20. а)

dx;

б) x3exdx;

в)

sin

dx;

cos

1 x

2x 3 dx

1 3

г)

;

д)

x2 9x 22

dx;

е)

dx ;

x2 6x 8 x 4

x2 3x 4

x 9 x4

ж)

sin4 xdx ;

з) 1 cos x dx

;

и)

tg3 xdx ;

x sin x


к)		1 x	dx ;	л)

		1 x
6.1.21. а)	sin11 xcos xdx;			б)

;

м)

x2 3

ln x

dx;

в)

;

7cos x sin x

1 5x

arccos

x 1

16x 2

г)

;

д)

dx; е)

dx ;

x2 5x 4 x 2

x2 x 9

ж)

;

з)

x cos x sin x dx

; и)

cos x cos2 3xdx ;

xsin x

x 2

1 sin

e3x ex

к)

dx ;

л)

xdx

;

м)

dx .

1 x

cos

6.1.22. а)

arctg

dx;

б) x3e

xdx;

в)

dx;

sin

г)

1 2x

;

д)

dx;

е) x9

dx ;

x2 4x 4 x 5

x2 3x 4

ж)

з)

arccos3 x 1

и) sin xsin 2xsin3xdx ;

dx ;

1 x

1 x2

x5dx

к)

x 1 1

л)

м)

;

x 1 1

x4 4

1 ex e2x

389

6.1.23. а)	sin5 x	dx;
	cos9 x

3x 2 dx

г) 6x2 3x 5 ;

ж)	x2		dx ;
	x
		1
к)	e2xdx			;


	1 ex

6.1.24. а)		ln x			dx;

		x

3 2x dx

г) ;

x2 5x 6

ж) 1 x 2 dx ;

x2 1

к)

dx ;

6.1.25. а)

cos3 x

dx;

sin18 x

г)

4x 6 dx

;

4x2 5x 3

ж)

;

cos x

к)

x 2

;

x 1 x 2

6.1.26. а)

ln3

dx;

б)	arcctg 4xdx; в)	dx	;

		11cos x 8sin x 13

д)

з)

л)

б)

д)

з)

л)

б)

4x2 13x 3

x2 1 x 4 dx;

x3dx

x2 1 2 ;

x4dx

1 x2 3 ;

x3exdx; в)

		x2 9x 21						dx;
	x 2 2 x 5							dx;
				dx		;

x
				4 ln2 x
				4 ln2 x
			x2 1		dx ;		м)
			x3

		x arctg 2xdx;						в)

е) 1 x 2 dx ;

x 6 x5

и) cos3 xdx ; sin6 x

м)			tg xdx		.

	1 tg x tg2 x
	1 tg x tg2 x
sin2 x cos4 xdx;
	1 3			3 dx ;
е)	1 3		x
е)
		x12 x7

и) sin3 xdx ; 4 cos3 x

x cos3 x		sin x	e	sin x	dx .
	cos2 x		e		dx .
	cos2 x
		dx				;

	cos x	2sin x			2

x2 x 6

д)

x 1

dx;

е)

dx ;

3x 2 x 4

1 3

x 1

з)

;

и)

sin4 x cos6 xdx ;

1 e 2x

л)

x3dx

;

м)

16 x

б) xe 2xdx;

в)

cos2 xsin4 xdx;

390

1 4

г)

5 2x dx

д)

9x 32

е)

;

dx;

dx ;

x 5

x 2

x2 6x 5

ж)

cos3 x 3cos x

sin2 x dx ;

з)

ln xdx

;

и)

tg7 xdx ;

x 1 ln2 x

к)

;

л)

x 1

1 x2

6.1.27. а)

cos3 x

dx;

б)

sin12 x

г)

3x 2 dx

;

д)

3x2 x 8

ж)

tg x

dx ;

з)

tg2 x

к)

1 x

;

л)

e2x arccos e2x

6.1.28. а)

dx;

б)

e4x

г)

3 x dx

;

д)

x2 6x 1

ж)

10lg x

2 dx ;

з)

к)

1 4 x

dx ;

л)

6.1.29. а)

sin5 x

dx;

б)

cos3 x

г)

2x 3 dx

;

д)

3x2 x 1

x4dx

;

м)

1 x

dx .

3 x2

1 x

x2e 4 dx;

в)

;

7sin x

19cos x

1 4

2x2 3x 6

dx;

е)

dx ;

x x2 5x 6

x2 4

tg3 xdx

;

и)

;

cos

3 cos xsin11 x

;

м)

x4dx

1 x2

x2 1

x 2

1 x2

xe4xdx;

в)

sin

dx;

cos

1 3

4x2 18x 43

dx;

е)

dx ;

x2 8x 4 x 4

x 5 x3

3x 1 dx

;

и)

sh3 xdx

;

ch2 x

9 x2

dx ;

м)

ln x 1

x2e 2 dx;

в)

;

3cos x

sin x

1 4

3x2 7x 1

dx;

е)

dx ;

x2 3x 2 x 3

x2 20 x7

391

ж)

lg 3x x2 dx ;

з)

x x3 dx

;

и)

1 x4

к)

;

л)

x2 4

dx ;

м)

ex 1

6.1.30. а)

arctg x

dx;

б)

x cos2 xdx;

в)

г)

x 5 dx

;

д)

5x2 6x 7

dx;

x2 x 6 x 3

3x2 x 1

	dx	;

	sh x ch4 x
	sh x ch4 x

x2 sh xdx .

cos2 x dx; sin8 x

е) 1 5x4 2 dx ;

x2 5 x

sin x

cos x

ж)

dx ;

з)

arcsin x

dx ;

и)

;

4sin2 x

9cos2 x

sin

к)

x3dx

;

л)

x2 1

dx ;

м)

1 / 2

x 1

392

Розділ 7. Визначений інтеграл та його застосування

7.1. Визначення, властивості, геометричний зміст визначеного інтеграла. Методи обчислення

Нехай на відрізку a,b визначена функція y f x . Розіб'ємо цей відрізок на n довільних частин точками

a x0 x1 xi 1 xi xn b.

На кожному з відрізків xi 1, xi , i 1,n , візьмемо довільну точку i і

побудуємо суму Sn f i xi ,де xi xi xi 1 . Сума Sn називається

i 1

інтегральною сумою для функції y f x , яка відповідає даному розбиттю

відрізка a,b і даному вибору точок i . Позначимо max xi , i 1,n .

1 i n

Визначення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми S n при
max xi 0 ,	яка не залежить від способу розбиття відрізку a,b на
1 i n
елементарні ділянки і вибору		точок i , то ця границя називається
визначеним інтегралом від функції f x на відрізку a,b і позначається
	b	n
	f x dx lim f i xi .
	a	0 i 1
Функція f x	в цьому випадку називається інтегровною функцією на

відрізку a,b . Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою

межами інтегрування.

f x 0

Геометричний

зміст

визначеного інтеграла:

якщо

x a,b ,

x dx

y f ( x )

то

чисельно

дорівнює

площі

криволінійної

трапеції

S f (x)dx

основою

a,b , що

обмежена

прямими

x=a,

x=b

та

кривою

Рис. 7.1

y=f(x) (рис 7.1).

393

У загальному випадку визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі площ фігур, обмежених лініями: y f x , x = a, x = b, у = 0, причому площі, розташовані вище осі Ох, входять у цю суму зі знаком «+», а площі, розташовані нижче осі Ох, – зі знаком «–» (рис.7.2).

	+	+

a	–	–	b x

Рис. 7.2

Властивості визначеного інтеграла:

1. При переставлянні меж інтегрування знак інтеграла змінюється на протилежний:

b	a
f x dx f x dx.
a	b

2. Якщо нижня і верхня межі інтегрування збігаються, то інтеграл

дорівнює нулеві: f ( x )dx 0.

3. Лінійність . Якщо f x і g x – функції, інтегровні на a,b , то: а) сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

b	b
Cf x dx C f x dx,		C const ;
a	a

б) інтеграл від алгебраїчної суми інтегровних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:

b			b	b
	f x g x dx			f x dx g x dx.
a		f x	a	a	a,c і c,b , де
4. Адитивність. Якщо		f x	– функція, інтегровна на		a,c і c,b , де
с a,b , то вона інтегровна на [a,b] і
	b	c		b
	f ( x )dx		f ( x )dx f ( x )dx.
	a	a		c

394

		b
5.	Якщо a b і	f x 0 , то f		x dx 0 , причому рівність нулеві
		a	f x 0 , x a,b .
можлива тільки в тому випадку, коли			f x 0 , x a,b .
		f x g x , то	b	b
6.	Якщо a b і	f x g x , то		f x dx g x dx , тобто нерівності
			a	a

можна інтегрувати.

7. Якщо f x – функція, інтегровна на [a,b], то f x також інтегровна на [a,b] функція і має місце нерівність:

			b		b
			f x dx			f x	dx .
			f x dx			f x	dx .
			a		a
8.	Теорема про оцінку визначеного інтеграла. Якщо m f x M ,
m inf	f x ,	M sup f x , то
[a,b]		[a,b]
		[a,b]
				b
		m b a f x dx M b a .
				a				неперервна x a,b ,
9. Теорема про середнє значення. Якщо f x								неперервна x a,b ,

то a,b таке, що

			b
			f x dx f b a		.
			a
y				Геометричний	зміст	теореми:	нехай
y				f x 0 x [a,b] , тоді існує принаймні
				f x 0 x [a,b] , тоді існує принаймні
				одна точка a,b , така, що площа
				криволінійної трапеції, обмежена зверху
				неперервною	кривою	y f x ,	буде
a		b	x	дорівнювати площі прямокутника з тією
a		b	x	ж основою і висотою, яка дорівнює f
	Рис. 7.3			ж основою і висотою, яка дорівнює f
	Рис. 7.3			(рис. 7.3).
				(рис. 7.3).
10. Якщо функції		f x і x – неперервні на [a, b], а x – зберігає
знак на цьому відрізку, то

b	b
f x x dx f x dx		a b
a	a

(узагальнена теорема про середнє).

395

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx