Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

arcsin x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

xdx

zndz

. Виконуючи ділення

на (z

1) , дійдемо до табличних

1 z2

інтегралів.

До інтеграла

ctg

xdx застосуємо підстановку ctg x

z, dx

1 z2

ctgn xdx

zndz

, далі потрібно виконати ділення і знайти інтеграли.

Приклади

ctg5 xdx

ctg x

z5dz

(z3

)dz

(

1) C =

ctg4 x

ctg2 x

(

C .

tg x

tg4 xdx

(z2

)dz

+ arctg z

tg3 x

tg x

arctg(tg x)

tg3 x

tg x

C .

6. Інтеграл вигляду

, де n>0, m>0.

sinn x cosm x

Чисельник можна замінити тригонометричною одиницею в другому

степені:

(sin2 x

cos2 x)2 .

(sin2 x

cos2 x)2

sin4 x

2sin2 x cos2 x

cos4 x

sinn x cosm x

sinn

sinn 2 x cosn

2 x

sinn x cosm

4 x cosm x

4 x

і знову повторити той же прийом, зводячи інтеграли до табличних.

376

Приклади

(sin2 x cos2 x)2

sin4 x 2sin2 x cos2 x

cos4 x

cos4 xsin2 x

sin

xd (tg x) 2 tg x ctg x

x 2 tg x

cos2 x

sin2 x

cos4 x

ctg x

C .

sin4 x

2sin2 x cos2 x

cos4 x

sin xdx

sin

x cos

sin

x cos

cos x

+ 2

cos xdx

d (cos x)

d (sin x)

sin x cos x

sin3 x

cos3 x

sin 2x

sin3 x

2ln

tgx

C .

2 cos2 x

2sin2 x

sin2n x

dx (m

n),

cos2m x

dx (n

7. Інтеграли вигляду

cos2m x

sin2n x

обчислюються за допомогою підстановок z

tg x або z

ctg x .

Якщо степінь чисельника більше степеня знаменника n m , то

sin2n x

(sin2 x)n

cos2 x)n

dx .

cos2m x

d (tg x), tg x

sin2 xdx

sin2 x 1

Приклад.

cos2 x

cos

x cos

tg2 x

cos2 x

z2 (1 z2 )dz

tg3 x

tg5 x C .

8. Інтеграли вигляду:

sin 2n

cos2n

ctg x z

а)

1 ctg2 x

sin2n x

sin2n

2 x sin2 x

sin2 x

377

ctg2 x

d (ctg x)

(1 z2 )n 1 dz .

sin2 x

Приклад.

sin8 x

sin6 x sin2 x

sin2 x

(1 ctg2 x)3 d (ctg x)

ctg x

ctg3 x

ctg5 x

ctg6 x

C .

m 1

б)

cos2m x

cos2m 2 x cos2 x

cos2 x

tg x z

tg2 x m 1 d (tg x)

1 tg2 x

(1 z2 )m 1 dz .

cos2 x

Приклади

tgx z

cos6 x

cos4 x cos

2 x

cos2 x

=(1 tg 2x )2( dtgx ) 1 z2 2dz (1 2z2 z4 )dz z 23 z3 15 z5 C

=tgx 23 tg3x 15 tg5x C .

cos

(cos

sin2 x 3

3sin

x sin

sin4 x

sin2 xdx

3ctg x

sin4 x

sin2 x sin2 x

sin2 x

–

cos 2x

ctg2 x)d (ctg x)

3ctg x

sin 2x

ctg x

ctg3 x

3ctg x

sin 2x

C .

Контрольні приклади до гл. 6

У наступних прикладах знаки * необхідно замінити виразами або числами.

Приклад 6.1. Знайти I x 2 41 2x3 dx.

378

			1		d *				1 2x3 *
Розв’язання. I	1	1 2x3						2			C .
	1			4				2
	6			4				15
						x			dx
			2							.

Приклад 6.2. Знайти I
						2x 2	1 2x 2 1

Розв’язання. I *	d *						1			d	*				1
	d *					+	1				*			2 arctg 2x	1	C .
													2
			2								2
		2x	2	1			4				2
							4			2x		1			4 *
										2x		1			4 *

Приклад 6.3. Знайти	I				1 x			2	dx.

						x
						x

Розв’язання. Помножимо чисельник і знаменник підінтегрального виразу на х:

1 x

t; 1 x

xdx * dt

t2 1

1 x2

C .

2x2

Приклад 6.4. Знайти I

dx.

1 x

Розв’язання. I 2

dx 2

dx =

x2 1

C .

Приклад 6.5. Знайти I 2 3x e

dx.

u ,

du dx

3 e

Розв’язання.

dx =

dv e3 dx, v 3 e 3

3 e3 e3 C .

Приклад 6.6. Знайти I sin3 x cos2 xdx .

379

Розв’язання. I

sin2 x cos2 x

sin xdx

cos x

t2dt

t 2 dt

cos

cos3 x C .

Приклад 6.7. Знайти

2x5 6x3 1

dx .

3x2

Розв’язання. Виділимо цілу частину:

2x5 6x3 1

x4 3x2

Подамо правильний дріб у вигляді суми найпростіших дробів:

x4 3x2

x2 3

Зведемо до спільного знаменника та зрівняємо чисельники:

1 A C x3 B D x2 x .

Зрівнюємо коефіцієнти при x0 , x, x2 , x3 . Одержимо систему:

A C 0

B D 0		, її розв’язання: A 0, B , C 0, D .
	0


	1

Повертаємося до заданого інтеграла:

5	3
2x 6x		1

x4	3x2

arctg x

Приклад 6.8.

Розв’язання.

	1	1		1
	1	1		1
dx	3x2	x2 3	dx	3x

C .

Знайти I			dx			.

	3		3		4
		x		x

Виконаємо заміну змінної.

I	x t		3	t dt	3	dt
I	dx t	dt	3	t t 4	3	t 4
	dx t	dt

380

dt 3 1

dt 3 t

t 4

повертаємося до вхідної змінної х

= 3 x

C .

Лабораторна робота 6. Використання системи Maple для обчислення невизначених інтегралів

Завдання. Обчислити неневизначені інтеграли.

Виконання. У системі MAPLE для обчислення невизначених інтегралів існує команда int(expr,var), де expr – підінтегральний вираз, var - змінна інтегрування. Результат інтегрування виводиться без сталої інтегрування, що дозволяє багаторазово використовувати результат у подальших обчисленнях.

Приклади:

1)	sin5 x			cos x dx ,
> int(sin(x)^5*cos(x),x);
							1		sin6 x .
						6			sin6 x .
						6
2)			x		dx ,



			4 x4
>int(x/sqrt(4-x^4),x);
							1		arcsin	1	x	2	.
						2			arcsin	2	x		.
						2				2
3)			dx	,

		x ln x
> int(1/(x*ln(x)),x);
						ln ln x .
4)			3x 1			dx ,

	4x2 4x 17
	4x2 4x 17
> int((3x-1)/(4x^2-4*x+17),x);
							3	ln 4x2			4x 17				1	arctan	1	x	1	.
						8		ln 4x2			4x 17			16		arctan	2	x	4	.
						8								16			2		4

381

5)	2x 5		dx ,


	x2 6 x
		2

> int((2*x+5)/sqrt(x^2+6*x+2),x);

	1			1
2 x2 6x 2 2		ln x 3	x2 6x 2 2 .

6) x x 1 dx ,

> int(1/(sqrt(x)*(x+1)),x);

2arctan x 2 .

7) x2 1 x2 dx ,

> int(x^2*sqrt(1-x^2),x);

8)	1	dx ,

	9 8cos x sin x

> int(1/(9+8*cos(x)+sin(x)),x);

9) x arctg x dx ,

> int(x*arctan(x),x);

10)e2x sin 3x dx ,

>int(exp(2*x)*sin(3*x),x);

11) x2 arccos x dx ,

> int((x^2)*arccos(x),x);

x 1 x2 2 18 x

12 arctan 14 tan 12 x

1	x	2	arctan x	1	x
2				2

133 exp 2x cos 3x

1	arccos x x	3	1	x	2
3	arccos x x		9	x
3			9

14 .

12 arctan x .

132 exp 2x sin 3x .

1		2	1

1 x2 2			1 x2 2 .
	9

382

12) x3 1 dx , int(1/(x^3-1),x);

1		1			1	1	1	1
			ln x2
	ln 1 x			x 1		32 arctan		2x 1 32 .
	ln 1 x			x 1		32 arctan		2x 1 32 .
3		6			3		3

Контрольні завдання до гл. 6

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли.

6.1. 1. а)	sin3 x cos xdx;
г)	x 2 dx			;

		x2 3x	1

ж) x x 2 ; к) 3xx 11dx ;

6.1.2. а)	arcsin ln x	dx;

	x

4x 1 dx

г) ;

x2 2x 1

ж)	tg2 xdx ;
к)	dx		;

	2 x
	2 x	1 x

6.1.3. а) sin 4xesin 2x dx;

г)		7x 1 dx	; д)


	3x2 6x 4
	3x2 6x 4

б)

dx;

в)

;

sin2 x

sin x

cos x

д)

3x2 6x 1

dx;

е)

dx ;

x 4 x3

з)

5 ln

x 5

dx ;

и)

cos3 xdx

;

sin

л)

arcsin xdx

81 x2 dx ;

м)

б) x2e xdx;

в)

;

2sin x

3cos x

1 3

д)

2x2 6x 1

dx;

е)

dx ;

x 1

x x

з)

2arctg 2x

dx ;

и)

sin3 xdx

;

cos

л)

;

м)

arctg 1

x dx .

16 x2

б)

dx;

в)

cos2 xdx

;

cos2 x

sin4 x

x2 9x 14

dx;

e x arctg e

е)

dx ;

4x 3 x 4

383

ж)

x2 2

dx ;

з)

x sin x dx

;

и)

;

2cos x

sin

x cos

к)

л)

;

м)

x dx .

x 1 3

x 1

5 x2

6.1.4. а)

sin3 x cos15 xdx;

б)

x2 sin 2xdx;

в)

;

7cos x

6sin x

1 3

4x 3 dx

3x2 12x 10

г)

;

д)

dx;

е)

dx ;

5x 6

x 2

x2 2x 4

x 9 x8

1 e

2 x

arctg 2x

ж)

dx ;

з)

dx ;

и)

;

cos

xsin

x4dx

1 x2 5

к)

x 1 1

dx ;

л)

;

м)

dx .

x 1

arcsin

6.1.5. а)

;

б)

x2 cos5xdx;

в)

dx;

2sin x

3cos x

1 2

1 3

г)

3x 4 dx

;

д)

2x2 21x 50

dx;

е)

dx ;

x 6

x 2

9x2 6x 5

ж)

sin 2x

cos xdx ;

з)

x dx

;

и)

;

tg x cos 2x

x4dx

к)

x 3

dx ;

л)

;

м)

1 3 x

x 2x 3

2 x2

x ln x2 6x 27 dx;

sin3 x

6.1.6. а)

e 2 xdx;

б)

в)

dx;

cos17 x

1 3

1 4x

18x 8

г)

;

д)

dx;

е)

dx ;

x2 3x 2

x 6

x2 x 2

384

xdx

ж)

;

з)

;

и)

;

x2 1

sin3 x cos5 x

к)

2x 1

dx ;

л)

x4dx

; м)

1 x

x 1

16 x

6.1.7. а) sin3 x cos9 xdx;

б)

1 dx;

в)

;

18cos x

sin x

2 5x dx

3x2 2x 1

arccos

г)

; д)

dx;

е)

ln x

dx ;

x 3

x ln

8x 1

ж)

dx ;

з)

arcctg x

dx ;

и)

sin 2xdx

;

cos

x sin

2 1

к)

6.1.8.а)

г)

ж)

к)

6.1.9.а)

г)

ж)

45 x 5 x ;

arctg 1x dx; x2

x 31 xdx ;

x 1 2 dx ;

arccos2 x dx; 1 x2

5x 3 dx

2x2 4x 5 ;

x3 x dx ; x4 1

л)

м)

2x 1

4 x2 dx ;

dx .

б)

e2 x2dx;

в)

;

sin

x cos x

2x2 3x 2

д)

dx;

е)

dx ;

x2 4x 12

x 2

x 8 x7

з)

arcsin x 2

1dx ;

и)

;

4 2cos

1 x2

м)

л) x2 3 x2 dx ;

dx .

б)

ln2 xdx;

в)

;

3sin x

11cos x

1 3

6x2 25x 16

д)

dx;

е)

dx ;

x 4 x 1 x 2

x2 6

з)

xdx

;

и)

;

x2 1

sin

x cos

385

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx