Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

tg t; x2

1 tg2 t

cos2 t

;sin t

cos4 tdt

cos2 tdt

(x2 1)2

cos2 t

arctg x;cost

1 x2

cos 2t)dt

sin 2t

sin t cost

arctg x +

arctg x

2 x2

1 x2

(x3

3)dx

2arctg x C . □

1)(x2 1)2

2(x2

Розглянувши 4 випадки інтегрування дрібно-раціональної функції, ми бачимо, що інтеграл від неї є елементарною функцією, яка в загальному випадку є сумою логарифма, арктангенса і раціональної функції.

7.	2x3	20x	8	dx .
	x(x	2)(x	4)

Розв’язання. Підінтегральна функція є неправильний дріб.

2x3 20x 8

x3 2x2 8x

Виділимо цілу частину: 2x3

4x2

16x

4x2

4x 8

2x3

20x 8

4x2

4x 8

)dx

2dx

4x2

4x 8

x(x

2)(x

2x2

x(x

2)(x 4)

4x2

dx.

x(x

2)(x

Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші дроби:

4x2

x(x

2)(x

4x2

4x 8

x 0

4x2

4x 8

x 2

4x2

4x 8

x 4

5 .

(x 2)(x 4)

x(x 4)

x(x

366

4x2 4x 8

x 2

x 4

x(x

2)(x

+С.

7x3

dx .

x2 (x2

x2 (x 2)(x 3)

Розв’язання. Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші

дроби:

7x3

; A

, D

20,C

x2 (x 2)(x 3)

Для знаходження В приведемо до спільного знаменника і

прирівняємо чисельники:

7x3

9 A(x 2)(x

Bx(x

2)(x

Cx2 (x

Dx2 (x

2) ,

при x3 : 7=В+З+D, В= –

7x3 9

x 2

20ln

x 3

C .

x2( x 2 )( x 3 )

2x3

5x2

dx .

(x2

1)(x2

Розв’язання. Підінтегральний дріб правильний. Розкладемо його на

найпростіші дроби, враховуючи, що корені знаменника комплексні.

2x3

5x2

3x 2

Ax B

Cx D

(x2

1)(x2

Ax B x2

Cx D x2

x 1

2x3

5x2

3x 2 ( Ax B)(x2

1) (Cx D)(x2

x 1) .

x3 : 2 A C A 2 C 2 3 1;

x2 : 5 B C D 5 2 C ,C 3;

x : 3 A C D 3 A C D,D 3 1 3 1;

x0 : 2 B D B 2 D 2 1 1.

2x3

5x2

3x 2

x 1

3x 1

dx .

(x2

1)(x2

x2 1

367

			x			1		dx			1						(2x 1)dx											1 2						1			dx

	x2										2						x2											(x 1 2)2
	x2			x 1							2						x2			x 1								(x 1 2)2							3 4
=		1	ln	x2				x		1			3		1				arctg					x	1		2	.
	2										2

															3 4			3 4
	3x			1						1			2xdx											dx					3										C .
					dx		3																							ln	x2			1		arctg x

	x2									2		x2										x2						2
				1											1										1
				1											1										1
	2x3				5x2				3x			2		dx						1	ln		x2			x										2x		1	3	ln	x2

																													1			3	arctg									1
	(x2			x			1)(x2				1)							2																					2

																																			3
+ arctg x						C .
	10.					I					dx					.

									x2		9				2
									x2		9

Розв’язання. Підінтегральна функція є найпростіший раціональний дріб четвертого типу (г). Нижче подані два способи для знаходження інтегралів від цього дробу.

			Перший спосіб
		dx						1			9 x2							x2			dx						1							dx				1	x			xdx
x2				9	2			9					x2 9							2	dx					9				x		2			9			9	x		x2		9			2
x2				9				9					x2 9													9				x					9			9			x2		9
	u x dv									xdx
										xdx

							x2 9 2
								1				d x2 9											1 dx													1				x					1				dx
								1

	du dx v												x						2									2										2 x		2		9					x	2
	du dx v																		2									2												2								2
								2						2 9								9				x				9 9															2					9
					1

			2 x2			9
			2 x2			9
1					dx						1							x				1			arctg						x						1		x					C .

18				x2			9				18					x2			9			54								3						18		x2			9
			Другий спосіб
										x 3tg z									tg z					x
																								x
			dx																																			dz									1
																						3							3																					cos2 zdz


	x2			9 2					dx								3dz																cos2 z 9 tg2 z										9 2				27
																	3dz																														27
															cos2 z
															cos2 z

368

	1	1		cos 2z	dz	1		z		sin 2z				C	1			z		2sin z cos z		C	1	z

	27			2		54				27		2				54				27	2		54
	27			2		54				27		2				54				27	2		54
+			tg z		C		1		arctg		x			1	x				C .
+				tg2 z	C				arctg				18 x2						C .
54 1				tg2 z		54				3			18 x2				9

Зауваження. При обчисленні інтегралів від раціональних функцій іноді можна обійтися без розкладання їх на найпростіші, застосовуючи інші підходи, а саме приклад 11.

11. I t2 1 2 dt .

Розв’язання. Цей інтеграл можна знайти методом інтегрування

частинами. Дійсно, взявши

tdt

1 d t2 1

d t 2 1

u t ,

;

du dt , v

t2 1 2

t 2 1 2

2 t2 1

одержимо

t 1

C .

2 t2

12.

4 t2 1

t2 4 t2 1

t2 1 t2

t 2 1 t 2 4

5 t2

arctg

C .

t2 4

6.2.5. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції

1. Інтеграли вигляду:

sin(kx)cos(lx)dx; cos(kx)cos(lx)dx; sin(kx)sin(lx)dx .

Із тригонометрії відомо, що добуток тригонометричних функцій перетворюється в суму за формулами:

369

						sin kx coslx									1				sin(k							l)x	sin(k				l)x ;
						sin kx coslx								2					sin(k							l)x	sin(k				l)x ;
														2
						cos kx coslx										1			cos(k							l)x		cos(k			l)x ;
						cos kx coslx								2					cos(k							l)x		cos(k			l)x ;
														2
						sin kxsin lx								1				cos(k								l)x	cos(k				l)x .
						sin kxsin lx								2				cos(k								l)x	cos(k				l)x .
														2
						Приклади
1.						sin 6x cos 7xdx													1				(sin13x					sin x)dx				1				sin13xdx								1			sin xdx

																			2													2												2
																			2													2												2
=				1			cos13x				1		cos x									C .
=				26			cos13x		2				cos x									C .
				26					2
2.					cos5x cos9xdx												1					(cos14x					cos 4x)dx						1	1			sin14x					1	1			sin 4x		C
2.					cos5x cos9xdx												2					(cos14x					cos 4x)dx					2 14					sin14x				2 4					sin 4x		C
																	2															2 14									2 4
		1				sin14x				1		sin 4x									C .
						sin14x						sin 4x									C .
28									8
3.					sin12xsin 4xdx															1			(cos8x					cos16x)dx							1			sin8x			1				sin16x			C .
3.					sin12xsin 4xdx														2				(cos8x					cos16x)dx						16				sin8x			32				sin16x			C .
																			2															16							32
4.					sin 2x cos5xsin 9xdx																	1				sin 2x sin 4x					sin14x dx									1		sin 2xsin 4xdx

																						2																		2
																						2																		2
1							sin 2xsin14xdx												1					(cos 2x					cos 6x)dx					1					(cos12x								cos16x)dx

2																			4															4
2																			4															4
=	1		sin 2x					1	sin 6x										1				sin12x					1		sin16x			C .
=			sin 2x						sin 6x														sin12x							sin16x			C .
8								24											48								64
						2. Інтеграли вигляду:
																										sinm x cosn xdx ,							m, n > 0.
						а) Розглянемо випадок, коли показник степеня синуса є непарне
число
																										m=2k+1.
sinmx cosnxdx=sin2k+1x cosnxdx=sin2kx cosnx sinxdx= –(sin2x)kcosnx d(cosx)=
= –(1–cos2x)kcosnxd(cosx)=																									cos x			z	=–(1–z2)kzndz.
= –(1–cos2x)kcosnxd(cosx)=																									cos x			z	=–(1–z2)kzndz.
																	sin2k 1 xcosn xdx														(1 z2 )k zndz .

370

б) Другий випадок. Показник степеня косинуса є непарне число

n=2k+1.

sinmx cosnxdx=sinmx cos2k+1xdx=sinmx cos2kx cosx dx=sinmx(1–sin2x)kd(sinx)=

sin x z zm (1 z2 )k dz .

sinm x cosn xdx sinm x cos2k 1 xdx zm 1 z2 k dz .

При обчисленні інтегралів такого вигляду задача зводиться до інтегрування степеневих функцій.

Приклади

sin5 x cos2 xdx

sin4 x cos2 xsin xdx

sin4 x cos2 xd (cos x)

(1 cos2 x)2 cos2 xd(cos x)

cos x

z2 )2 z2dz

(1 2z2

z4 )z2dz

(z2

2z4

z6 )dz –

C =

=–

cos3 x

cos5 x

cos7 x

sin4 x cos7 xdx

sin4 x cos6 x cos xdx

sin4 x(cos2 x)3 d (sin x)

sin4 x(1

sin2 x)3 d (sin x) =

sin x

z4 (1

z2 )3dz

= z4 (1 3z2

3z4

z6 )dz

(z4

3z6

3z8

z10 )dz

z11

sin5 x

sin7 x

sin9 x

sin11 x

3. Інтеграли вигляду

R(sin x,cos x)dx .

1. За допомогою універсальної тригонометричної підстановки

sin x

cos x

2dt

1 t2

371

інтеграл перетворюється в інтеграл від раціональної функції.

Зазначимо ще три випадки, в яких застосовуються більш прості

підстановки, ніж універсальна тригонометрична.

Якщо

sin x,cos x) =

R(sin x,cos x) ,

тобто

функція

непарна

відносно sin x , то за нову змінну приймають t

cos x .

3. Якщо R(sin x,

cos x)

R(sin x,cos x) , то t

sin x .

4. Якщо

sin x,

cos x) = R(sin x,cos x) ,

тобто

функція

парна

відносно sin x і cos x водночас, то t

tg x або t

ctg x .

Приклади

2dt

2(1

t2 )5 dt

t2 )4 dt

sin5 x

t 2 )(2t)5

1 t

sin x

(1 4t2

6t4

4t6

t8 )dt

1 1

6ln

C =

4 t4

ctg

4 x

2ctg

2 x

6ln

;sin x

7 cos x

sin x

2dt

;cos x

2dt

t2 ) 8

7(1

t2 )

= 2

d (t

8 8t2

7 7t2

15 t2

1)2

d (t

arctg

C .

1)2

372

3.	cos3 xdx		(	cos x)3	cos3 x
3.	2 sin x	2		sin x	2 sin x
	2 sin x	2		sin x	2 sin x

оскільки функція непарна відносно cos x, то за нову змінну приймаємо

t					sin x
							cos2 x cos xdx																					1				sin2 x d (sin x)																							t			sin x												(1		t 2 )dt
							cos2 x cos xdx																					1				sin2 x d (sin x)																							t			sin x												(1		t 2 )dt
				2								sin x																					2						sin x													dt					d (sin x)												2				t
						( t						2						3							)dt							t2						2t					3				d (t 2)													t2							2t		3ln		t	2		C
																		3														t2															d (t 2)													t2

=					sin2 x												2					t											2									C .						t			2								2
																	2					t											2															t			2								2
													2sin x												3ln				sin x								2

				2
				2
4.								sin x cos xdx																		( sin x)cos x																			sin x cos x																						cos xd (cos x)
								sin x cos xdx																		( sin x)cos x																			sin x cos x																						cos xd (cos x)

				(3							cos x)2														(3					cos x)2													(3						cos x)2																		(3		cos x)2
				(3							cos x)2														(3					cos x)2													(3						cos x)2																		(3		cos x)2
=										tdt															(3					t)				3		dt				=						d (t					3)						3						d (t				3)
=									(3 t)2																	(3 t)2										dt				=								3 t									3						(3 t)2
									(3 t)2																	(3 t)2																						3 t															(3 t)2
=				ln						3	t						3									C				C					ln				3				cos x												3						.
																	3																																						3

														3						t																													3							cos x
														3						t																													3							cos x
5.								tg5 xdx .
										Перший спосіб
			tg5 xdx											tg x							t														t	5															1					t 2									1			t4d t2					t 2


														x				arctg t																							dt				tdt								d																					u
														x				arctg t															1				t2				dt				tdt						2		d										2				1		t2					u
														dx									dt										1				t2														2												2				1		t2
																							dt

																			1							t2
																			1							t2
		1 u2du													1 u2								1 1							du				1								u2 1					du							du									1				u 1 du

		2 1 u																																																	1													2
		2 1 u												2						1 u														2			1						u								1				u									2
+	1			ln					1 u							1			u				1 2								1		ln			u 1								C						u t 2 , t tg x, u tg 2 x


	2															2							2							2


			1			tg2 x						1 2									1																							1					2 x						1 2							1				ln cos2 x
			1																		1			ln			tg2 x							1						C				1			tg															1										C .
	4																		2					ln			tg2 x							1						C			4				tg												2													C .
	4																		2																								4																2

373

Другий спосіб

tg5 xdx

tg3 x

1 dx

tg3 xd tg x

tg3 xdx

cos2 x

tg4 x

tg x

1 dx

tg4 x

tg2 x

cos x

cos2 x

sin2 x

4sin x cos x

5cos2 x

(

sin x)2

sin x)(

cos x)

cos x)2

sin2 x

4sin x cos x

5cos2 x

для переходу до нової змінної t

tg x

поділимо чисельник і знаменник на

cos2x:

dx cos2 x

d (tg x)

sin2 x

sin x cos x

cos2 x

tg2 x

4 tg x

cos2 x

cos

2 x

d (t

arctg(t

arctg(tg x 2) C .

(t 2)2 1

4. Інтегрування парних степенів синуса і косинуса.

sin2n xdx , cos2n xdx , n – ціле, n>0.

Застосуємо такі формули тригонометрії:

sin2 x	1	(1 cos 2x) ; cos2 x	1	(1 cos 2x) .
	2		2

Застосування цих формул дозволяє знизити степінь синуса або косинуса і збільшити аргумент.

Приклади

	2	1 cos 2x 2		1	2
1. cos4 xdx	(cos2 x) dx		dx		(1 cos 2x) dx
		2		4

374

1	(1 2cos 2x cos2 2x)dx	1	x	1	sin 2x	1	cos2 2xdx
4		4		4		4

до останнього інтеграла застосовуємо прийом пониження степеня:

=		1	x					1	sin 2x							1	1						cos 4x					dx				1	x			1		sin 2x											1	x	1				sin 4x		C.
=			x						sin 2x																			dx					x			4		sin 2x											8	x			32		sin 4x		C.
	4						4								4							2								4						4													8				32
																						3				1				cos 2x 3											1													3
2.					sin6 xdx										(sin2 x) dx																						dx										(1				cos 2x) dx
2.					sin6 xdx										(sin2 x) dx															2							dx				8						(1				cos 2x) dx
																														2											8
			1				(1				3cos 2x							3cos2 2x										cos3 2x)dx											1	x						3		sin 2x
	8						(1				3cos 2x							3cos2 2x										cos3 2x)dx									8			x					16			sin 2x
	8																																				8								16
		3					1			cos 4x			dx				1					cos2 2x cos 2xdx
		8											dx							8		cos2 2x cos 2xdx
		8									2									8
=		1	x					3		sin 2x							3		x				3	sin 4x							1			(1					sin2 2x)d (sin 2x)
=	8		x				16			sin 2x					16				x			64		sin 4x						16				(1					sin2 2x)d (sin 2x)
	8						16								16							64								16
=		5		x					3		sin 2x							3			sin 4x						1		sin 2x						1 sin3 2x															C .

	16						16										64									16								16							3
	16						16										64									16								16							3
3.					sin5 xdx										sin4 xsin xdx															(1				cos2 x)2 d(cos x)
							(1				2cos2 x								cos4 x)d (cos x)														(cos x								2		cos3 x										cos5 x			) C .
							(1				2cos2 x								cos4 x)d (cos x)														(cos x								2															) C .
																																															3							5
4.					cos4 xsin2 xdx												1						cos2 x4cos2 xsin2 xdx																						1					cos2 xsin2 2xdx

																	4																												4
																	4																												4
			1				1			cos 2x				sin2 2xdx										1					sin	2 2xdx							1					sin2 2x cos 2xdx

			4																						8												8
			4								2														8												8
=		1				1 cos 4x						dx					1					sin2 2xd (sin 2x)												1			x				1			sin 4x								1 sin3 2x					C .
=												dx										sin2 2xd (sin 2x)															x							sin 4x													C .
	8						2										16																	16			64														16			3
5. Інтеграли вигляду																							tgn xdx ,									ctgn xdx .
							До				інтегралу												tgn xdx варто												застосувати																підстановку						tgx = z,
dx=						dz			.
				1 z2

375

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб10krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб6ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб24kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб4kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб3kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб53Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб174Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб242Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб15Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб5KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб14Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx