8. Алгебраическая проблема собственных значений

Задача 9. Найти собственные значения матрицы (3*3), приведенной в приложении 4, итерационным методом вращений Якоби. Сделать не менее трех вращений и оценить погрешность.

Указания к решению.

А. Определяют элемент, подлежащий аннулированию (максимальный по модулю).

Б. Вычисляют элеметы матрицы U⁽¹⁾, то естьи.

В. Вычисляют элеметы матрицы B⁽⁰⁾и матрицыA⁽¹⁾после первого вращения.

Г. Контролируют правильность вычисленной матрицы A⁽¹⁾. Если полученная матрица не симметрична или элементaне равен нулю, то результат ошибочен.

Д. Можно также проконтролировать инвариантность сферической нормы матрицы А.

Е. Если матрица A⁽¹⁾ не симметрична иaне равен нулю в пределах погрешности округления, то эту погрешность устраняют, полагаяa=0, и усредняют значения симметричных элементова_ijи а_ji.

Ж. Последующие вращения выполняют аналогично первому (пункты А-Е).

З. Для учебных целей достаточно провести три вращения.

И. Собственные значения матрицы А приближенно равны диагональным элементам матрицы после трерьего вращенияА⁽³⁾.

К. Оценивают погрешность вычислений собственных значений:

, где

Л. В практических рассчетах задается допустимая погрешность, и итерации продолжаются до тех пор, пока погрешность вычислений не станет меньше допустимой.

9. Методы решения нелинейных уравнений и систем

Задача 10. Найти корень уравнения на интервале [a, b] методом половинного деления с погрешностью не больше. Исходные данные представлены в приложении 5.

Указания к решению.

А. Находят с – серидину отрезка[a, b] и вычисляют.

Б. Из двух половин отрезка выбирают ту, на краях которой функция принимает противоположные знаки.

В. Если длина нового отрезка больше 2, то переходят к пункту А. Иначе середина этого отрезка будет корнем уравнения.

Г. Результаты вычислений заносят в таблицу вида:

N	1	2	3	4	5
a
f(a)
c
f(c)
b
f(b)

Задача 11. Найти корень уравнения на интервале [x₀, x₁] методом секущих. Сделать не менее четырех приближений и оценить погрешность. Исходные данные представлены в приложении 5.

Указания к решению.

А. Результаты вычислений заносят в таблицу вида:

i	0	1	2	3	4	5
xi
f(xi)
	-	-	-

Замечание. В практических задачах вычисления обычно ограничивают не числом приближений, а достижением приемлемой погрешности.

Задача 12. Решить систему двух нелинейных уравнений

,

методом Ньютона. Сделать не менее четырех приближений, оценить практическую сходимость и погрешность вычислений.

Функции ,и начальные приближенияx, даны в приложении 6.

Указания к решению.

А. Определив матрицу Якоби, записывают систему линейных алгебраических уравнений относительно ,, гдеk – номер итерации,=0,1…

Б. Задают =0.

В.Вычисляют коэффициенты СЛАУ и решают ее относительно ,

Г. Вычисляют норму вектора приращений:

=

Д. Находят решение в следующем приближении:

,.

Е. Увеличивают k на единицу и переходят к пункту В.

Ж. Для учебных целей достаточно провести четыре итерации.

З. В практических задачах вычисления обычно ограничивают не числом приближений, а достижением приемлемой погрешности.

И. Если наблюдается быстрая сходимость, то есть существенно меньше, то погрешностьk-того приближения приближенно равно норме.

К. Результаты вычислений заносят в таблицу вида:

k	0	1	2	3	4
					-
					-
					-