- •080303 «Динамика и прочность»,
- •080402 «Информационные технологии проектирования» (профилизация – проектирование в механике)
- •080303 «Динамика и прочность»,
- •080402 «Информационные технологии проектирования»
- •080303 «Динаміка и міцність»,
- •080402 «Інформаційні технології проектування»
- •080303 «Динамика и прочность»,
- •080402 «Информационные технологии проектирования»
- •1. Объект изучения
- •2. Цель выполнения индивидуального домашнего задания
- •3. Порядок выполнения
- •4. Аппроксимация, интерполяция функций
- •5. Численное дифференцирование
- •6. Вычисление интегралов
- •7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •8. Алгебраическая проблема собственных значений
- •9. Методы решения нелинейных уравнений и систем
- •10.Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •11. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
1. Объект изучения
Объектом изучения в ИДЗ по курсу «Численные методы в задачах механики» являются задачи, типичные для профессиональной деятельности, а также наиболее эффективные методы их решения. Для решения предлагаются задачи, представляющие основные разделы вычислительной математики. Эти задачи максимально просты, что позволяет решать их без математических сложностей и громоздких вычислений, сосредоточив основное внимание на принципиальных вопросах.
2. Цель выполнения индивидуального домашнего задания
Данное ИДЗ проводится с целью закрепления знаний, выработки умений и навыков применения численных методов решения задач механики. Выполнение настоящего ИДЗ – необходимый этап профессиональной подготовки специалиста.
3. Порядок выполнения
Задания ИДЗ выполняют в той очередности, в которой они включены в данное издание. Конкретные сроки выполнения назначает преподаватель.
Перед тем как приступить к работе над очередным заданием, необходимо изучить соответствующие разделы теории.
Решение каждой из задач ИДЗ обычно начинают на практическом занятии, где находят ответы на принципиальные вопросы и проводят часть вычислений. Дома студент выполняет оставшуюся вычислительную и оформительскую работу. Вычисления можно производить как на калькуляторе, так и на компьютере, с использованием удобной для исполнителя системы программирования.
ИДЗ оформляют на скрепленных листах и сдают на проверку преподавателю не позднее двух недель с момента получения задания. Правила оформления и сроки сдачи ИДЗ студентов заочной формы обучения определяются общими требованиями деканата. Работа оценивается по следующим основным параметрам: полнота и правильность выполнения задания; своевременность сдачи; аккуратность оформления.
4. Аппроксимация, интерполяция функций
Задача 1.Интерполировать таблично заданную функцию интерполяционным многочленом Ньютона для n = 3. Вычислить приближенное значение функции в контрольной точке . Оценить погрешность интерполяции двумя способами: 1) по последнему слагаемому многочлена; 2) в контрольной точке. Исходные данные приведены в приложении 1.
Указания к решению
вычисляются разделенные разности для соседних узлов - первые, вторые и третья;
числовые данные заносятся в таблицу вида
i |
xi |
y(xi) |
y(xi,xi+1) |
y(xi,xi+1,xi+2) |
y(xi,xi+1,xi+2,xi+3) |
y(xc) |
Delta |
0
1
2
3
|
x0
x1
x2
x3
|
y0
y1
y2
y3 |
y(x0,x1)
y(x1,x2)
y(x2,x3)
|
y(x0,x1,x2)
y(x1,x2,x3) |
y(x0,x1,x2,x3) |
y(xc) |
y(xc)-yc |
записывается интерполяционная формула Ньютона в точке в численной форме в виде суммы числового ряда;
оценивается практическая сходимость этого ряда;
оценивается погрешность интерполяции по абсолютной величине последнего слагаемого интерполяционного многочлена;
вычисляется значение интерполяционной формулы в контрольной точке;
оценивается погрешность интерполяции в контрольной точке как разность .
Задача 2.Записать интерполяционный полином Лагранжа для функции из задачи 1.
Задача 3.Интерполировать кубическим сплайном таблично заданную функцию из задачи 1. Вычислить приближенное значение функции в контрольной точке . Оценить погрешность интерполяции в контрольной точке.
Указания к решению
в таблицу вида
i |
xi |
y(xi) |
hi |
ci |
di |
bi |
ai |
y(xc) |
Delta |
0 |
x0 |
y0 |
|
|
|
|
|
y(xc) |
y(xc)-yc |
1 |
x1 |
y1 |
h1 |
0 |
d1 |
b1 |
a1 | ||
2 |
x2 |
y2 |
h2 |
c2 |
d2 |
b2 |
a2 | ||
3 |
x3 |
y3 |
h3 |
c3 |
d3 |
b3 |
a3 |
заносятся исходные данные для функции , а также вычисленные длины шагов сетки hi, коэффициенты ai, c1 и c4 сплайна;
записывается и решается система алгебраических уравнения для коэффициентов c1 и c2, значения которых записываются в таблицу;
вычисляются и заносятся в таблицу коэффициенты di и bi сплайна;
вычисляется значение интерполяционного сплайна в контрольной точке;
оценивается погрешность интерполяции в контрольной точке как разность .
Задача 4.Аппроксимировать таблично заданную функцию из задачи 1 методом наименьших квадратов для n = 4. Изобразить графически таблично заданную функцию и ее аппроксимацию. Оценить среднее квадратичное уклонение и максимальное уклонение.
Указания к решению
выбираются аппроксимирующими базисными функциями степенные функции ;
задается аппроксимирующая функция с одной (N=1) базисной функцией: ;
вычисляются коэффициенты алгебраического уравнения и вычисляется коэффициент аппроксимации a1; здесь и далее весовая функция принимается единичной;
изображается графически функция (точками) и аппроксимирующая функция (линией) на одном графике;
вычисляется среднее квадратичное уклонение аппроксимации и ее максимальное уклонение ; на этом аппроксимация с одной базисной функцией завершена;
задается аппроксимирующая функция с двумя (N=2) базисными функциями: ;
вычисляются коэффициенты системы двух алгебраических уравнений , (m=1,2) и, решив ее, вычислить коэффициенты аппроксимации an;
на прежнем графике изображается аппроксимирующая функция ;
вычисляется среднее квадратичное уклонение аппроксимации и ее максимальное уклонение ; на этом аппроксимация с двумя базисными функциями завершена;
сравниваются погрешности аппроксимации с одной и с двумя базисными функциями, делаются выводы.