5.2.3 Параметрические и непараметрические гипотезы

В зависимости от формулировки статистических гипотез различают параметрические и непараметрические статистические гипотезы.

Предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения, входящего в некоторое параметрическое семейство распределений, называется параметрической гипотезой (напомним, что параметр может быть и многомерным).

Большинство параметрических методов разработаны для нормально распределенных совокупностей. Некоторые методы позволяют анализировать данные, распределенные по другим законам (например, биномиальному или Пуассона).

Предположение, при котором вид распределения не рассматривается (т.е. не предполагается, что оно входит в некоторое параметрическое семейство распределений), называется непараметрической гипотезой.

Непараметрические методы позволяют исследовать данные без допущений о характере распределения переменных. Так как в этих тестах обрабатывается не само измеренное значение, а его ранг, то эти тесты нечувствительны к выбросам. Непараметрические тесты могут применяться в тех случаях, когда переменные измерены при помощи порядковой или метрической шкалы. Существуют тесты, предназначенные для анализа номинальных данных.

Непараметрические методы наиболее приемлемы, когда объем выборок мал. Если данных много (например, n>100), то не имеет смысла использовать непараметрические статистики. Когда выборки становятся очень большими, то выборочные средние подчиняются нормальному закону, даже если исходная переменная не является нормальной или измерена с погрешностью. Таким образом, параметрические методы, являющиеся более чувствительными (имеют большую статистическую мощность), практически всегда подходят для больших выборок.

5.3 Параметрические методы проверки однородности выборок

5.3.1 Традиционный метод проверки однородности двух независимых выборок (критерий Стьюдента)

Наиболее распространенный метод проверки однородности выборок путем выдвижения и проверки параметрических гипотез основан на применении критерия Стьюдента.

Рассмотрим случай сравнения двух независимых выборок.

Выдвигаются: нулевая гипотеза о равенстве средних и альтернативная, о том, что средние не равны.

Вычисляют выборочные средние арифметические и дисперсии в каждой выборке и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение.

По заданному уровню значимости  и числу степеней свободы (m+n- 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t|>t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t|<t_кр, то принимают.

В приложении 1 приведены основные формулы и условия применения традиционного метода проверки равенства математических ожиданий, дисперсий, а также долей успешных исходов экспериментов в двух совокупностях

5.3.2 Классические условия применимости критерия Стьюдента

Согласно математико-статистической теории должны быть выполнены два условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (1):

• а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения:

• F(x)=N(x; m₁, ₁²), G(x)=N(x; m₂, ₂²)

с математическими ожиданиями m₁ и m₂ и дисперсиями ₁² и ₂² в первой и во второй выборках соответственно;

• б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:

D(X)=₁²=D(Y)=₂².

Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F(x) и G(x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H₀ и H'₀ сводятся к гипотезе

H"₀ : m₁=m₂, ,

а обе альтернативные гипотезы H₁ и H'₁ сводятся к гипотезе

H"₁ : m₁m₂, .

Если условия а) и б) выполнены, то статистика t при справедливости H"0 имеет распределение Стьюдента с (n+m-2) степенями свободы. Только в этом случае описанный выше традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий не выполнено, то нет никаких оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано.

В большинстве случаев априори нет оснований предполагать нормальность распределения результатов экономических, технико-экономических, технических, медицинских и иных наблюдений.

Однако проверка нормальности - более сложная и трудоемкая статистическая процедура, чем проверка однородности, требующая большого числа наблюдений.

Тем не менее, несмотря на нарушение условия нормальности традиционный метод (критерий Стьюдента) можно использовать для проверки гипотезы о равенстве мат. ожиданий при больших объемах выборок. При этом вместо таблиц распределения Стьюдента достаточно пользоваться таблицами стандартного нормального распределения Ф(х).

Иногда условие равенства дисперсий вытекает из методики получения результатов наблюдений, например, когда с помощью одного и того же прибора или методики m раз измеряют характеристику первого объекта и п раз - второго, а параметры распределения погрешностей измерения при этом не меняются. Однако, в большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач условие равенства дисперсий нельзя считать выполненным, а проверять его нецелесообразно.

Однако при больших и равных или мало различающихся объемах выборок нет необходимости требовать выполнения условия равенства дисперсий.

В таких случаях применение t-критерия позволяет проверять гипотезу H'₀ о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H₀ о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач не выполнимы. Тем не менее, при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

Кроме того, следует обратить внимание на то, что t-критерий можно использовать лишь при выполнении следующих условий:

1. Наблюдения в каждой из рассматриваемых групп взяты случайным образом из одной и той же генеральной совокупности (например, две группы студентов одного курса или дети одного возраста и т.д.)

2. Наблюдения имеют нормальные распределения или объем каждой выборки превышает 30 значений.