- •Тема 5. Проверка статистических гипотез
- •5.1 Основные понятия, используемые при проверке гипотез
- •5.1.1 Статистические гипотезы
- •5.1.2 Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки при проверке гипотез
- •5.1.3 Статистические критерии
- •5.1.3 Общая схема проверки гипотез
- •5.1.4 Односторонние и двусторонние критерии
- •5.2 Проверка однородности выборок в прикладных задачах
- •5.2.1 Однородность выборок
- •5.2.2 Независимость выборок
- •5.2.3 Параметрические и непараметрические гипотезы
- •5.3 Параметрические методы проверки однородности выборок
- •5.3.1 Традиционный метод проверки однородности двух независимых выборок (критерий Стьюдента)
- •5.3.2 Классические условия применимости критерия Стьюдента
- •5.3.3 Использование критерия Крамера-Уэлча при проверке равенства математических ожиданий двух независимых выборок
- •5.3.4 Сравнение среднего с нормативом (t-тест одной выборки)
- •5.3.5 Сравнение двух зависимых выборок при помощи t-критерия Стьюдента
- •5.4 Непараметрические методы проверки однородности выборок
- •5.5 Сравнение двух независимых выборок
- •5.5.2 Сравнение двух независимых выборок. Критерий серий Вальда—Вольфовица
- •X1, x2, x3, x4, x5 и y1, y2, y3, y4, y5, y6.
- •X1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, y6
- •X1, x2, y1, y3, x4, y2, y3, y4, y5, x5, y6.
- •5.5.3 Сравнение двух независимых выборок. Тест Колмогорова-Смирнова
- •5.6 Сравнение двух зависимых выборок
- •5.6.1 Сравнение двух зависимых выборок с использованием теста знаков
- •5.6.2 Сравнение двух зависимых выборок с использованием теста Уилкоксона (Вилкоксона)
- •5.7 Сравнение нескольких выборок
- •5.7.1 Сравнение нескольких независимых выборок. Критерий Крускала-Уоллиса
- •5.7.2 Сравнение нескольких зависимых выборок. Критерий Фридмана
- •5.8 Использование критерия согласия Пирсона
- •5.9 Проверка статистических гипотез применительно к таблицам сопряженности
- •Для уровней статистической значимости
- •Критические значения статистики Колмогорова-Смирнова
5.2 Проверка однородности выборок в прикладных задачах
В прикладных исследованиях часто возникает необходимость выяснить:
различаются ли генеральные совокупности, из которых взяты две независимые выборки;
изменилась ли генеральная совокупность после воздействия.
Например, надо выяснить, влияет ли способ упаковки молока на срок его хранения. Или: отличается ли потребительское поведение мужчин и женщин.
В маркетинге важно выделить сегменты потребительского рынка. Если установлена однородность двух выборок, то возможно объединение сегментов, из которых они взяты. В дальнейшем это позволит осуществлять по отношению к ним одинаковую маркетинговую политику (проводить одни и те же рекламные мероприятия и т.п.). Если же установлено различие, то поведение потребителей в двух сегментах различно, объединять эти сегменты нельзя, и могут понадобиться различные маркетинговые стратегии, своя для каждого из этих сегментов.
В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x1, x2,...,xm и y1, y2,...,yn, требуется проверить их однородность. Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если имеющееся различие средних значений нельзя объяснить случайными статистическими колебаниями, то говорят о значимом различии.
5.2.1 Однородность выборок
Понятие «однородность», т. е. «отсутствие различия», может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами:
А. Обе выборки взяты из одной генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза
H0 : F(x)=G(x) при всех х.
Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза, согласно которой
H1 : F(x0)G(x0)
хотя бы при одном значении аргумента x0. Если гипотеза H0 принята, то выборки можно объединить в одну, если нет - то нельзя.
Б. В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y - математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза
H'0 : M(X)=M(Y),
где M(Х) и M(Y) - математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Доказательство различия между выборками в рассматриваемом случае - это доказательство справедливости альтернативной гипотезы
H'1 : M(X) M(Y) .
Если гипотеза H0 верна, то и гипотеза H'0 верна, но из справедливости H'0 не следует обязательно справедливость H0: математические ожидания могут совпадать для различающихся между собой функций распределения. В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H'0, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H'0 .
5.2.2 Независимость выборок
При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого признака), такие выборки называются зависимыми. Примеры зависимых выборок: пары близнецов, два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия, мужья и жёны и т. п.
В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми, например: мужчины и женщины, психологи и математики.
Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.
Например, если проведено (т+п) измерений объемов продаж в (т+п) торговых точках, то описанную выше модель, как правило, можно применять. Если же, например, xi и yi - объемы продаж одного и того же товара до и после определенного рекламного воздействия, то используют модель связанных (зависимых) выборок.