2.2. Задание по работе.
Получить вариант задания у преподавателя.
Составить программы вычисления характеристик замкнутых и разомкнутых экспоненциальных сетей СМО для случая 9-10 узлов.
По согласованию с преподавателем, задать интенсивности обслуживания в узлах сети, таким образом, чтобы появился наиболее загруженный узел.
Исследовать поведение характеристик сети: среднее число заявок в сети и среднее время пребывания в сети при наличии «узкого места». При увеличении интенсивности входного потока для разомкнутой сети и при увеличении числа заявок, обслуживающихся в замкнутой сети.
Найти условие размыкания для замкнутой сети.
Составить отчёт по работе.
2.3. Варианты заданий.
В каждом варианте задания рассматриваются сети размерностью в 10 для замкнутых и 9 для разомкнутых сетей. Конфигурация сети выбирается студентом, но она должна быть разветвлённой. Интенсивности обслуживания выбираются студентом, но так, чтобы был в сети наиболее загруженный узел. Окончательно конфигурация сети согласуется с преподавателем.
2.4. Методические указания.
В разомкнутой сети наибольшую сложность представляет расчёт интенсивностей потоков заявок в зависимости от конфигурации сети, которая описывается матрицей передач. Для решения линейной алгебраической системы рекомендуется применить алгоритм Гаусса. Прочие расчёты характеристик разомкнутой сети затруднений не вызывают.
Пусть для примера нам задана следующая разомкнутая экспоненциальная сеть (см. рис.2.1).
Рис 2.1. Разомкнутая экспоненциальная сеть.
Конфигурация стохастической сети задаётся матрицей передач Р, которая представляет собой единожды стохастическую матрицы размером (1+N)*(1+N), где N число СМО сети. В разомкнутую сеть обязательно входит источник заявок И, который полагается бесконечной ёмкости. Матрица передач Р имеет вид:
Элемент матрицы Рijозначает вероятность передачи заявки из узла i в узел j сети. Сумма вероятностей в каждой строке строго равна 1. Это служит проверкой правильности ввода исходных данных.
2.4.1. Расчёт характеристик разомкнутой сети.
Расчёт характеристик разомкнутой сети производится в следующем порядке.
1. В начале рассчитываются интенсивности потоков заявок λ, действующих в разомкнутой сети. Для чего необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений
(2.1)
Система (2.1) всегда имеет единственное решение, если задана интенсивность источника заявок. Решение системы (5.1) является наиболее трудоёмкой задачей, особенно для сетей большой размерности. В данной лабораторной работе целесообразно для нахождения λ применить алгоритм Гаусса.
2. На втором этапе необходимо найти коэффициенты загрузок ρ всех СМО сети, которые находятся по простой формуле:
ρj = λj /μj , (j=1,...,N) (2.2)
где μj - интенсивность обслуживания в СМО j.
Все коэффициенты загрузок должны быть обязательно меньше 1. В противном случае разомкнутая сеть не будет иметь характеристик стационарного режима, так как для СМО с коэффициентом загрузки большим 1 очередь заявок устремится в бесконечность. Поэтому при расчёте необходимо проверять все значения коэффициентов загрузок и сообщать пользователю, если условие не выполнено. Если стационарный режим существует, то рассчитываются его следующие характеристики.
3. Среднее число заявок в СМО j:
m
j=ρj/(1-ρj) (2.3)
4. Средняя длина очереди к СМО j:
Lj = ρ2/(1- ρj) (2.4)
5. Среднее время ожидания в очереди к СМО j:
Wj = Lj / λ j (2.5)
6. Среднее время пребывания в СМО j:
Uj = Wj + 1/μj (2.6)
Разомкнутая сеть имеет в стационарном режиме кроме характеристик отдельных СМО ещё характеристики сети в целом.
Это суммарное среднее число заявок, одновремённо находящееся в сети:
Мс = Σ m j (2.7)
Это суммарная средняя длина всех очередей в сети:
Lc = Σ Lj (2.8)
Среднее время ожидания во всех очередях сети:
Wc = Σ αjWj (2.9)
где αj - коэффициент передачи, показывающий сколько раз в среднем заявка побывает в СМО j, прежде чем вернётся в источник.
Коэффициент передачи находится как отношение интенсивностей потоков:
αj = λj/λи (2.10)
Среднее время пребывания в разомкнутой сети:
Uc = Σ αjUj(2.11)