Знакомство с алгеброй логики.

Логические операции и таблицы истинности.

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Таблицы истинности.

На основе логической связи между простыми высказываниями, входящими в состав сложного высказывания, делается логический вывод. Для получения логического вывода составляют таблицу истинности, в которой перечисляют все комбинации значений («истина» или «ложь») простых высказываний и реализуя логическую связь, получают результат, проанализировав который определяют все истинные значения сложного высказывания.

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …».

Обозначение инверсии: НЕ А; А; ; NOT А.

Таблица истинности:

А			Смысл высказывания А для указанных значений	Значение высказывания: У меня нет приставки Dendy.
0	1		У меня нет приставки Dendy.	истина
1	0		У меня есть приставка Dendy.	ложь

Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истина, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Логическое умножение (конъюнкция)

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А И В; А В; А&В; А В; А AND В

Таблица истинности:

Обозначим высказывания:

А – На автостоянке стоит «Мерседес».

В – На автостоянке стоят «Жигули».

А&В – На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

А	В	А&В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А&В
0	0	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	ложь
0	1	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	ложь
1	0	0		«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	ложь
1	1	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	истина

Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А OR В; А | В; А В; А + В.

Таблица истинности:

Пусть даны высказывания:

А – На автостоянке стоит «Мерседес».

В – На автостоянке стоят «Жигули».

А В – На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

А	В	А В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А В
0	0	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	ложь
0	1	1		«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	истина
1	0	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	истина
1	1	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	истина

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Логическое следование (импликация)

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то …».

Обозначение импликации: А В; А В.

Говорят: если А, то В; А влечет В; В следует из А.

Таблица истинности:

Пусть даны высказывания:

А – На улице дождь

В – Асфальт мокрый

А В – Если на улице дождь, то асфальт мокрый.

А	В	А В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А В
0	0	1		Дождя нет	Асфальт сухой	истина
0	1	1		Дождя нет	Асфальт мокрый	истина
1	0	0		Дождь идет	Асфальт сухой	ложь
1	1	1		Дождь идет	Асфальт мокрый	истина

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу).

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

Обозначение эквивалентности: А ≡ В; А В; А ~ В.

Таблица истинности:

Пусть даны высказывания:

А – Число делиться на 3 без остатка (кратно трем).

В – Сумма цифр числа делится нацело на 3.

А В – Число кратно трем тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

А	В	А В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А В
0	0	1		Число не кратно трем	Сумма цифр не кратна трем	истина
0	1	0		Число не кратно трем	Сумма цифр кратна трем	ложь
1	0	0		Число кратно трем	Сумма цифр не кратна трем	ложь
1	1	1		Число кратно трем	Сумма цифр кратна трем	истина

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Задание 4.

Рассмотрите сложные высказывания: «Аня промочила ноги, и у нее заболело горло», «Птицы поют или стрекочут кузнечики».

1. Определите простые высказывания.

2. Какие логические связки используются? (напишите название, для второго высказывания вид, логической связки).

3. Составьте таблицу истинности для данного высказывания.

Логические переменные и логические функции.

В алгебре простые высказывания заменяют логическими переменными, которые обозначаются буквами латинского алфавита, причем значения переменных могут быть 0 и 1. Логические связки заменяют соответствующими им математическими символами.

Логические выражения (логическая форма) – это выражение, содержащее одну или несколько переменных, соединенных знаками логических операций и скобками и превращающихся в высказывания при подстановке вместо этих переменных простых суждений.

Логической функцией F от набора логических переменных (a, b, c, …) называется функция, определенная на множестве истинных значений (истина, ложь) и принимающая значения из того же множества.

Таблица истинности функции зависит от количества логических переменных этой функции и содержит 2ⁿ наборов переменных.

Например, для функции F(a, b,), таблица истинности состоит из 4 наборов переменных.

Вычисление сложных высказываний производится в соответствии с таблицами истинности входящих в него логических операций. Следовательно, для определения значения истинности сложного высказывания мы должны уметь определять его форму и знать правила логических операций.

Примеры для определения формы сложного высказывания.

Пример 1.

F – Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.

Составляющие простые высказывания:

А – Ваш приезд необходим;

В – Ваш приезд желателен.

Форма сложного высказывания:

F =

Пример 2.

F – Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.

Составляющие простые высказывания:

А – Поиски врага длились три часа;

В – Врага нашли (результат есть);

С – Враг себя выдал.

Форма сложного высказывания:

F =

Пример 3.

F – Вчера было пасмурно, а сегодня светит солнце.

Составляющие простые высказывания:

А – Вчера было пасмурно;

В – Сегодня ярко светит солнце.

Форма сложного высказывания:

F =

Пример 4.

F – И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат. (У. Шекспир)

Составляющие простые высказывания:

А – Добродетель неправильно приложат;

В – Добродетель стать пороком может.

Форма сложного высказывания:

F =

Задание 5.

Определите формы высказываний, запишите их на языке алгебры логики.

1. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.

Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку.

2. Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно.

3. Без Вас хочу сказать Вам много, При Вас я слушать Вас хочу.

4. Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию.

Задание 6.

Необходимо по форме высказывания и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.

1.

Составляющие простые высказывания:

A – Человек с детства давал нервам властвовать над собой;

B – Человек в юности давал нервам властвовать над собой;

C – Нервы привыкнуть раздражаться;

D – Нервы будут послушны.

2.

Составляющие простые высказывания:

A – Некто является врачом;

B – Больной поговорил с врачом;

C – Больному стало легче.

Приоритет логических операций.

При вычислении логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1. инверсия;

2. конъюнкция;

3. дизъюнкция;

4. импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Пример 1.

Дана формула:

Порядок вычисления:

1) - инверсия;

2) С&D - конъюнкция;

3) - дизъюнкция;

4) - импликация;

5) - эквивалентность.

Пример 2.

Дана формула:

Порядок вычисления:

1) - инверсия;

2) - импликация в скобках;

3) - конъюнкция;

4) - дизъюнкция;

5) - эквивалентность.

Построение таблиц истинности сложных высказываний.

Пример 1.

Построим таблицу истинности для высказывания

Алгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания (на примере n = 3):

1. Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности.

2. Начертить таблицу и заполнить заголовок.

3. Заполнить первые 3-и столбца (заполнение столбцов соответствует двоичной записи чисел от 0 до 7).

4. Заполнить остальные столбцы.

А	В	С
0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	0
0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1	0

Пример 2.

В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: Это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля. Прав ли учитель?

1. Выделим составляющие простые высказывания и определим их количество (n).

n=2

А – Это сделал Коля;

В – Это сделал Саша.

2. Определим форму высказывания и порядок вычисления.

Форма высказывания:

Порядок вычисления:

1. инверсия;

2. дизъюнкция в скобках;

3. конъюнкция;

4. импликация.

3. Определим количество строк и столбцов в таблице истинности.

Количество строк в таблице равно 2ⁿ + строка на заголовок. Количество столбцов в таблице равно сумме количества простых высказываний (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

4. Начертим таблицу и заполним ее в соответствии с определениями логических операций последовательно по столбцам.

А	В
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1

Вывод: мы получили в последнем столбце все единицы. Это означает, что значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний А и В. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.