Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Обчислити розмах варіації, середню, моду та медіану (з точністю до першого знака після коми) аналітичним та графічним методами за наведеними у таблиці даними:

Ціна товару,грн	Кількість товару,од
До 10	12
10 – 20	18
20 – 40	40
40 – 60	50
60 – 70	30
70 – 80	20
Разом	170

Розв’язання

Для визначення розмаху варіації закриваємо перший інтервал, враховуючи, що його ширина дорівнює ширині сусіднього інтервалу, і беремо його середину. Ширина другого інтервалу:

h = 20 – 10 = 10,

тоді нижня межа першого інтервалу:

х_min = 10 – 10 = 0,

а середина: х ₁ = (0+10) / 2 = 5.

Тоді розмах варіації:

R = 80 – 5 = 75.

Визначимо середини інтервалів:

х ₁ = 0,5 (0 + 10) = 5; х ₂ = 0,5 (10 + 20) = 15; х ₃ = 0,5 (20 + 40) = 30;

х ₄ = 0,5 (40 + 60) = 50; х ₅ = 0,5 (60 + 70) = 65; х ₆ = 0,5 (70 + 80) = 75.

Середню арифметичну визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

де _і – середина відповідного інтервалу

f_i – частота відповідного інтервалу.

Тоді:

= 44 грн.

Для визначення моди спочатку перебудуємо вихідний інтервальний ряд із нерівними інтервалами на варіаційний ряд із рівними інтервалами, для чого розіб’ємо третій та четвертий інтервали навпіл, враховуючи припущення, що в межах інтервалу значення ознаки розподіляється за рівномірним законом. (Примітка: Якщо задано інтервальний ряд розподілу із рівними інтервалами, тоді таку перебудову робити не потрібно).

Після перебудови ряду розподілу маємо :

Ціна товару,грн	Кількість товару,од
0 - 10	12
10 – 20	18
20 - 30	20
30 – 40	20
40 – 50	25
50 – 60	25
60 – 70	30
70 – 80	20
Разом	170

За перетвореним інтервальним рядом із рівними інтервалами модальним інтервалом буде сьомий, якому відповідає найбільше значення частоти. Тоді значення моди обчислюється за формулою):

де Мо – мода

х _Мо – нижня межа модального інтервалу

h _Mo – ширина модального інтервалу

f _Mo – частота модального інтервалу

f _{Mo -1} – частота передмодального інтервалу

f _Mo+1 – частота післямодального інтервалу.

Тоді М_о= = 63,3 грн.

Визначимо моду графічним методом

f

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 М₀ 70 80 Х

Визначення моди графічним методом

Для визначення медіани обчислимо суму накопичених частот, тобто послідовно підсумуємо частоти за принципом:

S₁ = f₁; S₂ = f₁ + f₂; S₃ = f₁ + f₂ + f₃ і так далі.

Результати розрахунків наведено далі в таблиці.

Ціна товару,грн	Кількість товару,од	Накопичена частота, од.
0 - 10	12	12
10 – 20	18	30
20 - 30	20	50
30 – 40	20	70
40 – 50	25	95
50 – 60	25	120
60 – 70	30	150
70 – 80	20	170
Разом	170	х

Визначимо медіанний інтервал – той, в якому сума накопичених частот дорівнює або перебільшує половину сукупності.

Половина сукупності – 0,5 f_і = 0,5 · 170 = 85.

З вище наведеної таблиці бачимо, що медіанним інтервалом є п’ятий інтервал з межами (40 – 50).

Значення медіани обчислюємо за формулою:

,

де Ме – медіана

х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу

h_Me – ширина медіанного інтервалу

0,5 f _i – половина сукупності

S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу

f _Ме – частота медіанного інтервалу.

Тоді = 46 грн.

Для визначення медіани графічним методом використовують графік, побудований на основі накопичених частот або часток. Цей графік має вигляд кумулятивної гістограми із вбудованою кумулятою.

Визначення медіани графічним методом

Результати розрахунків свідчать про те, що типовим рівнем ціни товару є = 44 грн.; половина одиниць товару мають значення ціни, що дорівнює або менше ніж 46 грн., а інша половина - дорівнює або більше ніж 46 грн.; найчастіше зустрічаються товар, що має ціну 63,3 грн.

Виходячи із співвідношення = 44< Ме = 46 < Мо = 63,3 можна зробити висновок, що представлений ряд розподілу має лівосторонню асиметрію.

Приклад 2

Визначити квадратичний коефіцієнт варіації та зробити висновки щодо однорідності сукупності за наведеними даними ( дані умовні):