Показники варіації та формули для їх розрахунку

Назва показника	Розрахункова формула
	Проста форма	Зважена форма
Середнє лінійне відхилення
Середнє квадратичне відхилення
Дисперсія
хі – індивідуальні значення окремої ознаки, варіанти – середня арифметична (середнє значення ознаки) n – обсяг сукупності, кількість ознак у сукупності fi – частота відповідної ознаки.

Необхідно звернути увагу на те, що за сутністю такі показники як середнє лінійне відхилення та середнє квадратичне відхилення не відрізняються. Методика їх визначення різна, що пов'язано із однією з математичних властивостей середньої величини.

Чим менше середнє відхилення, тим більш типова середня, тим більш однорідна сукупність. Середнє квадратичне відхилення також пов’язане з середнім лінійним відхиленням. За правилом мажорантності середніх > . Якщо обсяг сукупності досить великий і розподіл ознаки наближається до нормального, то між середнім квадратичним та середнім лінійним відхиленнями існує такий взаємозв’язок:

 = 1,25 , або = 0,8. (2.23)

Для нормального розподілу варіативної ознаки справедливе також твердження, що R = 6. Значення ознаки в межах ( ) мають 68,3 % обсягу сукупності, у межах ( 2) – 95,4 %, а в межах ( 3) – 99,7 %. Це відоме “правило трьох сигм”.

При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики: коефіцієнти варіації. До них належать:

• лінійний коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою:

, або ·100 %, (2.24)

де – середнє лінійне відхилення

– середня арифметична;

• квадратичний коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою:

, або ·100 %, (2.25)

де  – середнє квадратичне відхилення

• коефіцієнт осциляції, який обчислюється за формулою:

, або ·100 %, (2.26)

де R – розмах варіації.

Чим менше середнє відхилення, тим більш типова середня, тим більш однорідна сукупність. За допомогою коефіцієнтів варіації встановлюється рівень однорідності сукупності і, відповідно, рівень типовості середньої величини у цій сукупності. Найчастіше як критерій однорідності сукупності використовують квадратичний коефіцієнт варіації. У симетричному, близькому до нормального, розподілі V_σ = 0,33.

Розрізняють такі значення відносних коливань:

V_σ< 10% - незначне коливання, сукупність однорідна, значення середньої є типовим рівнем ознаки в даній сукупності;

10 % ≤ V_σ ≤ 33% - середнє коливання, сукупність в межах однорідності, значення середньої можна вважати типовим рівнем ознаки в даній сукупності;

V_σ> 33% - високий рівень варіації, сукупність неоднорідна, значення середньої неможна вважати типовим рівнем ознаки в даній сукупності.

Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги під час вирішення тих чи інших завдань статистичного аналізу. Методика визначення характеристик варіації наведена у прикладі № 2 розв'язання типових завдань до даної теми. Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки Х та наявних даних (первинні чи похідні, згруповані чи ні).

Слід звернути увагу на особливості визначення дисперсії при аналізі варіації альтернативної ознаки. Якщо одиниці сукупності характеризуються ознакою, яка властива або невластива їм, то ця ознака називається альтернативною. Альтернативна ознака може набувати одне з двох кількісних значень: х₁ = 1; х₂ = 0.

Для дослідження варіації альтернативної ознаки використовуються середня арифметична та середнє квадратичне відхилення.

Середню арифметичну визначають за формулою:

(2.27)

де р – відносна частота (питома вага) одиниць сукупності, яким властива ознака, тобто для яких х₁ = 1;

q - відносна частота (питома вага) одиниць сукупності, яким не властива ознака, тобто для яких х₂ = 0.

Враховуючи те, що для альтернативної ознаки , підставляємо відповідні значення у формулу розрахунку середнього квадратичного відхилення і знаходимо середнє квадратичне відхилення для альтернативної ознаки:

. (2.28)

Тобто, дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток за формулою:

• ² = d ₁× d ₀ , (2.29)

де d ₁ – частка елементів сукупності, яким властива ознака

d ₀ – частка решти елементів, у яких відсутня ознака (d ₀ = 1 – d ₁).

Максимальне значення середнього квадратичного відхилення для альтернативної ознаки буде становити , а максимальна дисперсія відповідно

Показники варіації альтернативної ознаки використовують під час оброблення даних соціологічних досліджень, статистичного контролю якості продукції, аналізу результатів вибіркових спостережень тощо.

Дисперсія, або середній квадрат відхилення ( ²), посідає особливе місце в статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання взаємозв’язків, для перевірки статистичних гіпотез тощо.

Процеси і явища в промисловому і сільськогосподарському виробництві, фінансовій та комерційній діяльності, демографічній, соціальній або політичній галузях, що вивчаються статистикою, як правило, характеризуються внутрішньою структурою, яка із часом може змінюватися. Динаміка структури викликає зміну внутрішнього змісту досліджуваних об’єктів і їх економічну інтерпретацію, приводить до змін встановлених причинно-наслідкових зв’язків. Тому вивчення структури і структурних зрушень займає дуже важливе місце в курсі статистики.

У статистиці під структурою розуміють сукупність одиниць, яким притаманна певна стійкість внутрішньо групових зв’язків при збереженні основних ознак, що характеризують цю сукупність як ціле.

Основні напрямки вивчення структури:

• характеристика структурних зрушень окремих частин сукупності за два або більше періодів часу;

• узагальнююча характеристика структурних зрушень в цілому по сукупності;

• оцінка ступеня концентрації, локалізації та децильної диференціації [17, с. 401 - 424].