Середні величини
Однією з узагальнюючих характеристик в аналізі суспільних явищ є середня величина. Середня узагальнює весь діапазон даних і є результатом абстрагування відмінностей, що притаманні одиницям сукупності. Середні величини - це узагальнююча міра варіативної ознаки у статистичній сукупності; це узагальнюючий показник, який характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю сукупності.
Основні умови наукового використання середніх величин:
якісна однорідність сукупності;
сукупність має бути достатньо великою.
Критерій правильного вибору форми середньої величини - це запис логічної формули розрахунку осереднюваного показника. Для кожної середньої є лише одне правильне співвідношення, для реалізації якого залежно від даних, що існують, можна використовувати різні форми середніх: середню арифметичну, середню гармонічну, середню квадратичну, середню геометричну за не згрупованими (просту) і за згрупованими даними (зважену).
Використання кожного виду середніх залежить від двох обставин: по-перше, від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні); по-друге, від характеру алгебраїчного зв’язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загальним обсягом (сума, добуток, степень, квадратичний корінь).
Середня арифметична – використовується для усереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування. Якщо дані не згруповані:
, (2.4)
де
- варіанти, тобто значення ознаки, що
осереднюється для i-
ої одиниці сукупності;
n – число одиниць у сукупності.
За формулою середньої арифметичної простої обчислюються також середні у хронологічному ряді, якщо інтервали часу, за який подаються значення ознак, рівні. Якщо у хронологічному ряді наведені моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються півсумами значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більше двох і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної:
(2.5)
де n– число моментів.
Якщо дані згруповані, то використовують середню арифметичну зважену, яку розраховують за формулою:
, або
, (2.6)
де
- частота;
–
частка
-ї
групи.
При цьому
а
.
(2.7)
Середня гармонічна використовується для осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумовування. Для не згрупованих даних це середня гармонічна проста
. (2.8)
Якщо дані згруповані, то використовують середню гармонічну зважену
, (2.9)
де
- обсяг значень ознаки, тобто.
.
Очевидно, що середню гармонічну зважену доцільно використовувати, коли відсутня інформація про значення знаменника логічної формули, тобто відсутні ваги у явному виді.
Середня
геометрична
визначається як добуток відносних
величин динаміки
,
які є кратним співвідношенням
-го
значення показника до попереднього
(
-1).
Формула середньої
геометричної простої
, (2.10)
де
-
символ добутку;
-
кількість величин, середня яких
обчислюється.
Якщо часові інтервали неоднакові, використовують середню геометричну зважену
, (2.11)
де
- часовий інтервал.
У інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл у межах -го інтервалу, як варіант використовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою ж, як і сусіднього закритого інтервалу.
У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи за відповідними варіантами, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти. Такий процес множення в статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами – вагами. Сама назва “ваги” відображує факт різновагомості окремих варіант. У такому випадку значення ознаки осереднюється за формулою середньої арифметичної зваженої і обчислюється за формулою 2.6.
Для інтервального варіаційного ряду середню арифметичну обчислюють за формулою:
(2.12)
де
і
– середина відповідного інтервалу
fi – частота відповідного інтервалу.
У статистиці використовується припущення, що в межах інтервалу варіанти підпорядковуються рівномірному закону розподілу. Це припущення дає можливість під час розрахунку середньої арифметичної використовувати середини інтервалів. Звичайно, при цьому розрахунок середньої набуває дещо умовного характеру, оскільки у разі відхилення від рівномірного розподілу середня інтервального ряду є менш точною, ніж середня, яка обчислена на основі первинних даних. Середнє значення інтервалу розраховується за формулою:
,
(2.13)
де х і min – нижня межа інтервалу
х і max – верхня межа інтервалу.
Для визначення середини відкритого інтервалу приймають припущення, що ширина відкритого інтервалу дорівнює ширині сусіднього інтервалу. Таким чином, немає проблем з визначенням верхньої межі останнього інтервалу. Проте під час визначення нижньої межі першого інтервалу, крім загальної рекомендації, слід ураховувати якісну сутність ознаки, середня якої обчислюється. Наприклад, якщо за загальними рекомендаціями при визначенні нижньої межі отримується від’ємне значення ознаки, варто проаналізувати, чи може ця ознака мати від’ємне значення. Якщо так, нижню межу визначають за загальними рекомендаціями. Якщо ні, за нижню межу обирають нульове значення ознаки.
Слід добре розібрати основні математичні властивості, які має середня арифметична. Однією із таких властивостей є така:
Алгебраїчна сума відхилень кожної варіанти від середньої арифметичної дорівнює нулю. Математично це записується таким чином:
(х
і
–
)
= 0. (2.14)
Ця властивість використовується при визначенні характеристик варіації – середнього лінійного та середнього квадратичного відхилень (див. методичні рекомендації до наступної теми).