7. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере

5 %, затем 12 %, потом и, наконец, 12,5 % в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение:

Пусть х рублей был первоначальный вклад (100 %), по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на , то есть стала от х или .

По условию задачи,за время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5 %, затем 12 %, потом и, наконец, 12,5 % в месяц. Обозначим целое число месяцев, соответствующей процентной ставки.

Из первого уравнения системы получаем, что . Из последнего уравнения системы получаем , тогда

Ответ: 7 месяцев.

II тип задач: под какой процент был взят кредит.

8. 31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, а во второй 644, 1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?

Решение:

Пусть банк выдал кредит Борису под х% = 0,01х, тогда после начисления процентов Борис будет должен банку . После перевода первого транша сумма его долга станет После перевода второго транша сумма долга будет равна нулю, тогда составляем уравнение:

- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 13 %

июнь 2015

9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на a% по сравнения с концом предыдущего года; - февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Найдите число a, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год 69 000 рублей?

Решение:

Пусть банк выдал кредит под a% = 0,01a, тогда после начисления процентов долг банку будет . После перевода первого транша сумма его долга станет После перевода второго транша сумма долга будет равна нулю, тогда составляем уравнение:

- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 15 %

июнь 2015

10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. Рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга за июль предыдущего года. Найти х, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей?

Решение:

Срок	Кредит	Долг	Выплаты
1	6
2
3
...			...
15

По условию задачи: наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей.

Ответ: 25 %

июнь 2015

11. 15 - го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1 - го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга; - 15 - го числа каждого месяца долг должен на одну и ту же сумму меньше долга на 15 - е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

Решение:

Iспособ:

Пусть первоначальная сумма кредита S.

Срок	Кредит	Долг	Выплаты
1	S
2
3
4
....	...	...	....
38
39
40	0	0	0

Сумма всех выплат составит:

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

или ( по формулам арифметической прогрессии )

тогда найдем разность прогрессии

Найдём сумму выплат по формуле суммы n - первых членов арифметической прогрессии

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

Ответ: 1%

II способ: Пусть - сумма долга в конце n - го месяца, - первоначальная сумма долга.

, где

По условию задачи: сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц, тогда составляет арифметическую прогрессию, где

-формула n- го члена прогрессии.

Суммы выплат составляют арифметическую прогрессию.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

Ответ: 1%

III способ:Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задач этого типа. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

По условию задачи

Ответ: 1 %

аналогичные задания:

- 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 19 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца. Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

Ответ: 3 %

- Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 12 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 13 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

Ответ: 2 %.

- Алек­сей взял кре­дит в банке на срок 17 ме­ся­цев. По до­го­во­ру Алек­сей дол­жен вер­нуть кре­дит еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го ме­ся­ца к остав­шей­ся сумме долга до­бав­ля­ет­ся r % этой суммы и своим еже­ме­сяч­ным пла­те­жом Алек­сей по­га­ша­ет эти до­бав­лен­ные про­цен­ты и умень­ша­ет сумму долга. Еже­ме­сяч­ные пла­те­жи под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц (на прак­ти­ке такая схема на­зы­ва­ет­ся «схе­мой с диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми»). Из­вест­но, что общая сумма, вы­пла­чен­ная Алек­се­ем банку за весь срок кре­ди­то­ва­ния, ока­за­лась на 27 % боль­ше, чем сумма, взя­тая им в кре­дит. Най­ди­те r.

Ответ: 3 %.

12. 15 - го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг ( в % от кредита)	100 %	90 %	80 %	70 %	60 %	50 %	40 %

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5 %, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение:

Пусть 15 - го числа текущего месяца долг равен х рублей, а 15 го числа предыдущего месяца у рублей. Тогда в конце предыдущего месяца долг равен и выплата в первой половине текущего месяца равна . В процентах отсуммы кредита выплаты в феврале составили ; в марте в июне

Общая сумма выплат составила 15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52,5 = 122,5 %.

Ответ: 22,5 %