4.5. Брус из разнородных материалов

Предполагается такое соединение разнородных материалов, при котором обеспечивается их совместная работа. Тогда в пределах упругих деформаций применима гипотеза плоских сечений. Расчёт брусьев, выполненных из материалов, имеющих разные модули упругости (Е, G), зависит от характера расположения различных материалов в брусе: симметрично относительно оси или несимметрично. Определенные особенности есть и при расчете брусьев из одного материала, но с переменным по сечению модулем упругости.

4.5.1. Брус с симметричным относительно оси расположением различных материалов

В этом случае рекомендуется определить внутреннее усилие в каждом материале (N, М_к, М_x), учитывая, что внутренний силовой фактор перераспределяется между частями сечения пропорционально их жесткостям (ЕА, GJ_р , EJ_х). Затем можно использовать обычные формулы для напряжений (4.1...4.3) и условия прочности (4.4...4.6)(см. табл.1).

Задача 4.1.10. Брус состоит из медного сердечника 1, жестко соединенного со стальной трубкой 2 (рис.4.10). Из условия прочности определить величину допускаемой нагрузки при растяжении [F] , кручении [М_к] и чистом изгибе [М_и], если известны d, Е₂ = 2·Е₁ (G₂ = 2·G₁), [σ₂] = 1.5·[σ₁]. [τ₂] = 1.5·[τ₁].

Указание. Определить внутренние усилия в каждом материале, учитывая замечание в начале п.4.5.1 и условие равновесия отсеченной части бруса. Далее записать условия прочности для обоих материалов и из найденных значений допускаемой нагрузки выбрать наименьшее.

4.5.2. Брус с несимметричным относительно оси расположением материалов

Особенностью работы такого бруса является его изгиб не только при действии изгибающего момента, но и при равномерное нагреве и центральном растяжении. При этом нейтральная линия в общем случае по проходит через центр тяжести течения.

Поясним порядок расчета бруса. Из рис.4.11 найдем относительное удлинение произвольного волокна ВВ:

(а)

где ε₀, ρ - относительное удлинение и радиус кривизны бруса по спаю; у - расстояние от спая до волокна.

По закону Гука с учетом выражения (а) и равномерного нагрева бруса имеем:

(б)

где α_i - температурный коэффициент линейного расширения.

Подставляя σ₁ и σ₂ в уравнения статики и , установим ε₀, ρ и формулы для определения напряжений в обоих слоях бруса.

Задача 4.11. Брус шириной b спаян из двух различных материалов (рис.4.11) ; при этом Е₁ = 2·Е₂, α₁ = 0,75·α₂. Определить напряжения, возникающие в брусе от: 1) равномерного нагрева на t°; 2) растяжения силой F, приложенной по уровню спая; 3) чистого изгиба моментом M. Для определенности взять h₂ = 2·h₁.

Указание. При нагреве принять N = 0, М_х = 0; при растяжении положить t = 0, М_к = 0; при изгибе считать t = 0, N = 0, М_и = М.

4.5.3. Брус из материала с переменным модулем упругости

При использовании гипотезы плоских сечений в данном случае геометрические уравнения при растяжении, кручении, изгибе остаются такими же, как и для бруса с Е = const. В то же время нормальные и касательные напряжения зависят от переменного модуля упругости Е и G. Из интегральных зависимостей, связывающих напряжения с ВСФ, устанавливаем закон изменения относительных линейных и угловых деформаций и формулу для напряжений σ и τ.

Задача 4.12. Для бруса круглого сечения, скручиваемого моментом т, определить из условия прочности диаметр и построить эпюру касательных напряжений в поперечном сечении. Задано: закон изменения модуля сдвига (рис.4.12) и [τ].

Указание. Вывести формулу для напряжений:

исследовать τ на экстремум и записать условие прочности при кручении.